حساب دیفرانسیل و انتگرال

حساب دیفْرانْسیِل و اَنتِگرال (calculus)
حساب دیفْرانْسیِل و اَنتِگرال
حساب دیفْرانْسیِل و اَنتِگرال
(یا: حسابان) مبحث مهمی در ریاضیات، مرکب از دو شاخۀ حساب دیفرانسیل و حساب انتگرال. این مبحث با تکیه بر مفهوم حد و فرآیند حدی، به بررسی آهنگ تغییر تابع نسبت به تغییر متغیر مستقل، راه های یافتن تابعی با آهنگ تغییر معین، و مفاهیم وابسته و کاربردهای آن می پردازد. حسابان شاید پرکاربردترین بخش ریاضیات باشد. در تحلیل بسیاری از مسائل زندگی واقعی کمیتی را به شکل تابعی از کمیتی دیگر بیان می کنند، مثلاً موضع یک شیء متحرک را به صورت تابعی از زمان، دمای یک شیء را به صورت تابعی از فاصله از منبع گرما، و نیروی وارد بر شیء را به صورت تابعی از فاصله از منشأ نیرو بیان می کنند. حسابان به بررسی این گونه توابع و تغییرات آن ها می پردازد و ابزار بسیار نیرومندی برای بررسی و محاسبۀ کمیت هایی است که پیوسته تغییر می کنند؛ از جمله به دانشمندان کمک می کند تا مکان موشکی فضایی را که از زمین دور و دورتر می شود لحظه به لحظه تعیین کنند. آهنگ دقیق یا لحظه ای تغییر تابع نسبت به تغییر متغیر با مفهوم مشتق بیان می شود (← مشتق). اگرy تابعی از متغیر مستقل x و به صورت y=f(x) باشد، نمو دلخواهی از متغیر x را دیفرانسیل x و حـاصل ضرب مشتق تابع y در دیفرانسـیل x را دیفرانسیل تـابع y می نـامند. مشتق تابع را با 'y یا f '(x) و دیفرانسـیل x را با dx و دیفرانسیل y را با dy نمایش می دهند. بنابراین dy = y'dx یا(فرمول ۱) حساب دیفرانسیل به کمک مفاهیم مشتق و دیفرانسیل به بررسی تغییرات توابع و کاربردهای آن می پردازد؛ از آن جمله است مطالعۀ شیب منحنی ها، سرعت های نایکنواخت، شتاب، نیرو، تقریب زدن مقادیر تابع، و تعیین نقاط ماکسیمم و مینیمم.
فرمول ۱:
حساب انتگرال با عکس عمل مشتق گیری، یعنی تعیین تابع از روی مشتق یا دیفرانسیل آن (انتگرال گیری)، و کاربردهای متعدد آن سروکار دارد و ازجمله برای محاسبۀ سطح، حجم، و گرانیگاه اجسام، و جواب های معادلات دیفرانسیل به کار می رود. ایدۀ اولیۀ حساب انتگرال از مجموع حدّی کمیت هایی نشأت گرفت که تعدادشان زیاد و زیادتر و مقدار هریک کوچک و کوچک تر می شود. در محاسبۀ سطح محدود به یک منحنی، مساحت چنین سطحی را می توان با تقسیم آن به تعدادی مستطیل با پهنای یکسان و سپس افزایش تعداد مستطیل ها و کاهش پهنای آن ها برآورد کرد، زیرا هرچه تعداد مستطیل ها بیشتر شود، مساحت آن ها که با ضرب کردن طول در عرض آن ها قابل محاسبه است، مجموعاً به سمت سطح زیر منحنی میل می کند. این روش، به روش افناء معروف است و قدمت زیادی دارد، ولی اهمیت و زیبایی حسابان در این است که روشی اصولی و منظم برای محاسبۀ دقیق بسیاری از مساحت ها، حجم ها، و سایر کمیت هایی فراهم می کند که یافتن آن ها دور از دسترس روش های باستانی بود. در قرن ۱۷، آیزاک نیوتون و گوتفرید لایب نیتس برای نخستین بار و مستقل از هم، قواعدی کلی برای حساب دیفرانسیل و انتگرال بنیاد نهادند، هر چند استقرار این موضوع بر پایه ای منطقی و مطمئن، عمدتاً به سبب وجود ابهاماتی در مفاهیم بغرنج حد و پیوستگی، کار دشواری بود. به جای استفاده از ایدۀ حد، ریاضی دانان قرن های ۱۸ و ۱۹ حسابان را بر مفهوم «بی نهایت کوچک ها» و به بیان نادقیق، کمیت های بسیار کوچک و «دیفرانسیل ها» استوار ساختند و به این سبب، این مبحث را «حساب بی نهایت کوچک ها» خواندند. نخستین شرح کامل حساب دیفرانسیل و انتگرال با استفاده از حد را در ۱۸۲۱، اوگوستین کوشی عرضه کرد، ولی ایده هایش تا سال ها بعد، به خصوص در انگلستان، از اقبال عمومی برخوردار نشد. شاخه ها و مباحث ریاضی گوناگونی از حسابان سر برآورده اند، ازجمله معادلات دیفرانسیلی که شامل مشتقاتی از توابع و احتمالاً خودِ توابع اند. بسیاری از این معادلات مدل ریاضی پدیده های فیزیکی گوناگونی از قبیل حرکت هماهنگ ساده اند. معادلات دیفرانسیل را عموماً با انتگرال گیری حل می کنند. اگر هیچ روش تحلیلی دیگری در دست نباشد، از روش های عددی برای انتگرال گیری استفاده می کنند. حساب تغییرات (وردش ها) ازجمله دیگر مباحث منشعب از حسابان است. امروز حساب دیفرانسیل و انتگرال را در سطح مقدماتی و پیشرفته، و نیز مباحثی نظیر معادلات دیفرانسیل، و اصولاً همۀ مباحث مطالعۀ تغییرات تابع براساس فرآیند حدگیری را با نام کلی آنالیز می شناسند.