حساب ایتو

نام گذاری حسابان ایتو پس از گسترش روشهای محاسبه فرایندهای تصادفی مانند حرکت براونی ( فرایند وینر را ببینید ) توسط کیوشی ایتو انجام شد. این روشها کاربردهای مهمی در ریاضی مالی و معادلات دیفرانسیل آماری دارد.
مفهوم محوری انتگرال تصادفی Itô است، یک تعمیم تصادفی انتگرال ریمان–استلیس. در اینجا چیزی که از آن انتگرال گرفته می شود و نتیجه فرایندها ی تصادفی اند:
که در آن H فرایند محلی مربع - انتگرال پذیر طبق filtration تولید شده بر حسب X که یک حرکت براونی یا به طور کلی تر یک semimartingale است. نتیجه انتگرال یک فرایند تصادفی دیگر است.
فرایند Y به صورت زیر تعریف می شود
که خود یک فرایند تصادفی با پارامتر زمان t است که گاهی اوقات به صورت Y = H · X نوشته می شود. همچنین انتگرال اغلب یه صورت فرم دیفرانسیلی dY=HdX نوشته می شود.
یک فرایند ایتو به این صورت تعریف شده است که فرایند برابر جمع انتگرال نسبت به حرکت براونی و انتگرالی نسبت به زمان قابل بیان باشد:
در اینجا B یک حرکت براونی است و لازم است که σ یک فرایند قابل پیش بینی و B - integrable ( بورل انتگرال پذیر ) باشد و μ نیز قابل پیش بینی و انتگرال پذیر است که،
برای هر t. انتگرال تصادفی را می توان به یک فرایند ایتو توسعه داد،
این تعریف برای همه انتگرال هایی که به صورت محلی محدود و قابل پیش است، تعریف شده است. به طور کلی لازم است که σ ویژگی B - integrable ( بورل انتگرال پذیر ) را داشته باشد و μ نیز Lebesgue ( لبک ) انتگرال پذیر باشد، بنابراین
خواص زیر را می توان در آثار مانند Revuz & Yor 1999 و Rogers & Williams 2000 یافت:
• انتگرال تصادفی فرایند càdlàg است. علاوه بر آن، یک semimartingale نیز است.
لم ایتو نسخه قاعده زنجیره ای متغیرها است که روی انتگرال ایتو اعمال شده است. این لم یکی از قدرتمندترین و پراستفاده ترین قضیه ها ی مورد استفاده در حساب تصادفی ( stochastic calclus ) است. برای semimartingale x که dبعدی است و X = ( X1, . . . , Xd ) که تا مرتبه دوم مشتق پذیر است تابع f از Rd به R که f ( X ) یک semimartingale و