حالت خطی

حالت خطی ( به انگلیسی: linear form ) در ریاضیات، ( که با نام های تابعی خطی، [ ۱] یک - حالت، یا کوبردار هم نامیده می شود ) یک نگاشت خطی از یک فضای برداری به میدان نرده ای هایش ( معمولا اعداد حقیقی یا اعداد مختلط ) است.
اگر V یک فضای برداری روی میدان k باشد، مجموعه همه تابعی های خطی از V به k خودش یک فضای برداری با صورت جمع و ضرب نرده ای نقطه به نقطه تعریف شده، روی k است. این فضا را فضای دوگان V می نامند، همچنین موقعی که فضای دوگان توپولوژیکی هم در نظر گرفته شود، آن را فضای دوگان جبری می نامند. این فضا را معمولاً توسط Hom ( V, k ) نمایش می دهند، [ ۲] یا وقتیکه میدان k را می شناسیم، به صورت V ∗ نشان داده می شود؛[ ۳] نمادگذاری های دیگری هم استفاده می شود مثل V ′ , [ ۴] [ ۵] یا V # یا V ∨ . [ ۲] وقتیکه بردارها توسط بردارهای ستونی نمایش یابند ( که این موضوع موقعی که پایه ثابت است رواج دارد ) ، آنوقت تابعی های خطی به صورت بردارهای سطری نمایش می یابند، و مقادیر آن ها در بردارهای خاص توسط ضرب ماتریسی ( با بردار سطری در سمت چپ ) به دست می آید.
«تابع صفر ثابت» که هر بردار را به صفر نگاشت می دهد، به صورت بدیهی یک تابعی خطی است. هر تابعی خطی دیگر ( مثل موارد ذکر شده در زیر ) پوشا است ( یعنی، برد آن همه k است ) .
فرض کنید که بردارها در فضای مختصات حقیقی R n توسط بردارهای ستونی نمایش یابند x = . برای هر بردار سطری a = یک تابعی خطی f a وجود دارد که توسط f a ( x ) = a 1 x 1 + ⋯ + a n x n , تعریف می شود و هر تابعی خطی را می توان به این حالت بیان نمود. این را می توان هم به صورت ضرب ماتریسی و هم ضرب داخلی از بردار سطری a و بردار ستونی x تفسیر نمود: f a ( x ) = a ⋅ x = . اثر یک ماتریس مربعی اثر tr ⁡ ( A ) از یک ماتریس مربعی A برابر مجموع همه عناصر در قطر اصلی آن است. ماتریس ها را می توان در نرده ای ها ضرب کرد همچنین دو ماتریس که ابعاد مشابهی دارند را می توان با هم جمع نمود؛ این عملیات یک فضای برداری از مجموعه همه ماتریس های n × n می سازد. اثر یک تابعی خطی در این فضا است زیرا tr ⁡ ( s A ) = s tr ⁡ ( A ) و tr ⁡ ( A + B ) = tr ⁡ ( A ) + tr ⁡ ( B ) برای همه نرده ای های s و همه ماتریس های n × n A   and  B برقرار است.