جامد اینشتین

جامد اینشتین مدلی ساده برای جامدات است که بر مبنای ۳ فرض اصلی بنا شده است:
این مدل در سال ۱۹۰۷ توسط آلبرت اینشتین معرفی شد. [ ۱] بدیهی است که فرض اول درست نیست و در واقع بیشتر خواص یک جامد حاصل وجود برهمکنش بین اتم های آن است. با این حال، این فرض باعث سادگی مدل می شود و برای هدفی که اینشتین از ارائهٔ این مدل داشت، فرض مناسبی است. هدف اصلی اینشتین از ارائهٔ این مدل آن بود که نشان دهد مفهوم کوانتش پلانک می تواند بعضی از ناسازگاری های فیزیک کلاسیک را حل کند.
در ترمودینامیک کلاسیک ظرفیت گرمایی جامدات بر اساس قانون تجربی دولون - پتی محاسبه می شد و سازگاری قابل قبولی با نتایج آزمایشگاهی داشت. قانون دولون - پتی ظرفیت گرمایی بلورها را 3 N k پیش بینی می کند که مستقل از دماست. این نتیجه با دربایست های فیزیک کلاسیک کاملاً سازگار است. مشکل زمانی بروز می کند که دما را به صفر مطلق نزدیک کنیم. بنا به نتایج تجربی، و بر خلاف قانون دولون - پتی ( و به تبعِ آن فیزیک کلاسیک ) ، وقتی دما به صفر مطلق نزدیک شود ظرفیت گرمایی به سرعت افت کرده و به صفر میل می کند.
با این که اینشتین می دانست بسامد نوسانات اتم های مختلف باید متفاوت باشد، فرض سوم را مبنی بر یکسان بودن بسامد همهٔ نوسان گرها وارد مدل خود کرد. این فرض باعث سادگی بیش از حد مدل می شود. نتیجهٔ لحاظ کردن فرض سوم در مدل این بود که: بنا به پیش بینی مدل، با نزدیک شدن دما به صفر مطلق، ظرفیت گرمایی به صورت نمایی با دما افت می کند. اگر فرض یکسان بودن بسامد نوسان گرها را کنار بگذاریم جواب واقعی تری که امروزه به مدل دبای مشهور است، و بر اساس آن ظرفیت گرمایی به صورت تابعی از T 3 به صفر میل می کند، حاصل می شد.
تابع پارش این مدل، یک تصاعد هندسی همگرا به صورت زیر است:
همانگونه که دیده می شود، تابع پارش تنها به h ν / k T وابسته است.
دمای اینشتین ( θ E ) به صورت h ν = k θ E تعریف می شود. در اینصورت خواهیم داشت:
انتروپی سیستم را می توان به صورت زیر بدست آورد:
با نزدیک شدن T به صفر، انتروپی سیستم نیز به صفر میل می کند که بیانی از قانون سوم ترمودینامیک است.
ظرفیت گرمایی این مجموعه را می توان به صورت زیر از انرژی داخلی بدست آورد:
C V = ( ∂ E ∂ T ) V = ( ∂ ( 3 M k T 2 ∂ l n Z ∂ T ) ∂ T ) V = 3 R ( θ E T ) 2 e θ E / T ( e θ E / T − 1 ) 2