ثابت های فایگنباوم

در ریاضیات، به طور خاص نظریه دوشاخگی، ثابت های فایگنباوم ( به انگلیسی: Feigenbaum constants ) دو ثابت ریاضی هستند که هر دو نسبت ها را در نمودار دوشاخگی برای یک نگاشت غیرخطی بیان می کنند. نام آن ها از فیزیکدان میچل جی. فایگنباوم گرفته شده است.
فایگنباوم در ابتدا ثابت اول را به دوشاخگی ها با مضاعف سازی - تناوب در نگاشت لُجستیک مربوط می کند، اما همچنین نشان می دهد که برای همه نگاشت های یک - بُعدی با تنها بیشینه مرتبه دوم ثابت است. در نتیجه این عمومیت، هر سیستم آشوبناکی که با این توصیف مطابقت داشته باشد، با همان سرعت دوشاخه می شود. در سال ۱۹۷۵ کشف شد. [ ۱] [ ۲]
ثابت اول فایگنباوم نسبت محدود کننده هر فاصله دوشاخگی به بُعدی بین هر مضاعف سازی - تناوب، یک نگاشت تک - پارامتری است
در این جا f ( x ) تابعی است که توسط پارامتر دوشاخگی a پارامتری می شود.
با این حد بدست می آید[ ۳]
که در آن anها مقادیر گسسته a در تناوب nام مضاعف سازی هستند.
• سرعت دوشاخگی فایگنباوم
• دلتا
• ۳۰ رقم اعشار: δ = ۴٫۶۶۹۲۰۱۶۰۹۱۰۲۹۹۰۶۷۱۸۵۳۲۰۳۸۲۰۴۶۶…
• ( دنباله A006890 در OEIS )
• یک تقریب منطقی ساده ۴ * ۳۰۷/۲۶۳ است
برای دیدن چگونگی پیدایش این عدد، نگاشت حقیقی یک پارامتری را در نظر بگیرید
در اینجا a پارامتر انشعاب است، x متغیر است. مقادیر a که تناوب برای آن دوبرابر می شود ( به عنوان مثال بزرگترین مقدار برای a با هیچ مدار تناوب - ۲، یا بزرگترین a با هیچ مدار تناوب - ۴ ) ، a1 ، a2 و غیره هستند. این موارد در زیر آورده شده است:[ ۴]
این نسبت در ستون آخر به ثابت اول فایگنباوم همگرا می شود. همین عدد برای نگاشت لُجستیک بوجود می آید
با پارامتر حقیقی a و متغیر x. جدول بندی مجدد مقادیر دوشاخگی:[ ۵]
در مورد مجموعه مندلبرو برای چندجمله ای درجه دوم مختط
ثابت فایگنباوم نسبت بین قطر دایره های متوالی در محور حقیقی در صفحه مختلط است ( به انیمیشن سمت راست مراجعه کنید ) .
ثابت فایگنباوم دوم یا ثابت آلفایِ فایگنباوم ( دنباله A006891 در OEIS ) ،
نسبت بین عرض یک شاخک و عرض یکی از دو زیرشاخک های آن است ( به استثنای شاخک نزدیک به تاخورده ) . هنگامی که نسبت بین زیرشاخک پایین و عرض شاخک اندازه گیری می شود، علامت منفی به α اعمال می شود. [ ۶]
این اعداد برای دسته بزرگی از سیستم های دینامیکی ( به عنوان مثال، شیرهای چکه کننده تا رشد جمعیت ) اعمال می شوند. [ ۶]