ثابت اویلر–ماسکرونی

ثابت اویلر - ماسکرونی ( با نام ثابت اویلر نیز شناخته می شود ) یک ثابت ریاضی است که در آنالیز و نظریه اعداد بررسی می شود، این ثابت معمولاً با حرف یونانی گامای کوچک ( γ ) نشان داده می شود.
این ثابت به صورت حد تفاضل بین سری هارمونیک و لگاریتم طبیعی تعریف می شود:
در اینجا، ⌊ x ⌋ تابع جزء صحیح را نشان می دهد.
مقدار عددی ثابت اویلر - ماسکرونی، تا ۵۰ رقم اعشار برابر است با:
لئونارد اویلر، ریاضیدان سوئیسی در مقاله ای با عنوان De Progressionibus harmonicis observationes ( نمایهٔ Eneström 43 ) در سال ۱۷۳۴ اولین بار از این ثابت استفاده کرد. اویلر از علامت C و O برای این ثابت استفاده کرد. در سال ۱۷۹۰ ریاضیدان ایتالیایی، لورنزو ماسکرونی از نمادهای A و a برای آن استفاده کرد. علامت γ در هیچ یک از نوشته های اویلر و ماسکرونی دیده نمی شود و شاید بعداً به دلیل ارتباط آن با تابع گاما انتخاب شده باشد ( Lagarias 2013 ) . مثلاً، ریاضیدان آلمانی کارل آنتون برسشنایدر از علامت γ در سال ۱۸۳۵ استفاده کرد ( Bretschneider 1837 ) و آگوستوس دمورگان از این علامت در یک کتاب درسی استفاده کرده است. ( De Morgan & 1836–1842 )
تا به حال جبری یا متعالی بودن عدد γ مشخص نشده است. در واقع، حتی گنگ بودن یا نبودن γ نیز معلوم نیست. پاپانیکولائو در سال ۱۹۹۷ با استفاده از تجزیه و تحلیل کسر مسلسل، نشان داد که اگر γ گنگ باشد، مخرج کسر غیرقابل قسم آن باید بیشتر از عدد 10244663 باشد. [ ۱]
γ به تابع دایگاما Ψ، و مشتق تابع گاما Γ مربوط است، مقدار هر دو تابع در نقطهٔ یک برابر است پس:
که این برابر با حد زیر است:
نتایج حدی بیشتر ( Krämer 2005 ) :
حد مربوط به تابع بتا است ( که بر حسب توابع گاما بیان شده است )
بسط کسر مسلسل γ به شکل روبه رو است OEIS: A002852، که الگوی آشکاری ندارد. ۴۷۵٬۰۰۶ مورد از اعداد الگوی بالا پیدا شده اند، [ ۱] و تعدادشان بی نهایت است اگر و تنها اگر γ گنگ باشد.