توپولوژی جبری

توپولوژی جبری شاخه ای از ریاضیات است که از ابزارهای جبر مجرد به منظور مطالعه فضاهای تپولوژیکی بهره می برد. هدف بنیادین در این شاخه، پیدا کردن ناورداهای جبری است که فضاهای توپولوژیکی را در حد هومئومورفیسم دسته بندی کند، گرچه که اغلب این دسته بندی در حد هموتوپی خواهد بود.
گرچه که توپولوژی جبری در وهله اول از جبر برای مطالعه مسائل توپولوژی استفاده می کند، استفاده از توپولوژی برای حل مسائل جبری نیز برخی مواقع امکان پذیر است. به عنوان مثال، توپولوژی جبری امکان ارائه اثبات مناسبی برای این حقیقت که «هر زیر گروه یک گروه آزاد، آزاد است» را فراهم می کند.
در زیر لیستی از شاخه های اصلی مورد مطالعه در توپولوژی جبری آمده است:
در ریاضیات، گروه های هموتوپی در توپولوژی جبری برای دسته بندی فضاهای توپولوژیکی مورد استفاده قرار گرفته اند. اولین و ساده ترین گروه های هموتوپی، گروه بنیادی است که اطلاعات مربوط به حلقه ها ( به انگلیسی: Loops ) ی درون فضای مورد نظر را در خود می گنجاند. به طور شهودی، گروه های هموتوپی، اطلاعات مربوط به شکل پایه و سوراخ های یک فضای توپولوژی را ثبت می کنند.
نظریه گره به مطالعه گره های ریاضیاتی می پردازد. در حالی که گره ها از زندگی روزمره، مثل گره بند کفش یا تناب الهام گرفته شده است، گره ریاضیدانان دارای این تفاوت است که باید دو انتهای آزاد تناب هم به هم وصل شوند چنان که نتوان گره را باز کرد.
یک مجتمع سادکی فضای توپولوژیکی از نوع خاصی است که با «به هم چسباندن» نقاط، پاره خط ها، مثلث ها و اشیاء n - بعدی متناظرشان بدست می آید.
کاربردهای کلاسیک توپولوژی جبری شامل موارد زیر است:
• قضیه نقطه ثابت براور: هر نگاشت پیوستته از یک n - دیسک به خودش دارای نقطه ثابت است.
• رتبه آزاد n - مین گروه همولوژی یک مجتمع سادکی، n - مین عدد بتی است که امکان محاسبه مشخصه های اویلر - پوانکاره را می دهد.
• می توان از ساختار دیفرانسیلی منیفلدهای هموار از طریق کوهمولوژی درام، چخ یا کوهمولوژی بافه ای برای بررسی حلپذیری معادلات دیفرانسیلی که روی منیفلد مورد سؤال تعریف شده اند استفاده کرد.