توزیع نرمال

توزیع نُرمال ( به انگلیسی: Normal distribution ) ، توزیع گاوسی ( به انگلیسی: Gaussian ) یا توزیع به هنجار[ ۱] ، یکی از مهم ترین توزیع های احتمال پیوسته در نظریه احتمالات است. [ ۲] [ ۳] دلیل این نام گذاری، نیز اهمیت این توزیع، این است که اُفت وخیز بسیاری از کمیت های طبیعی ( فیزیکی ) حول یک مقدار ثابت، از این توزیع پیروی می کند. دلیل آن هم، قضیهٔ حد مرکزی است.
بر پایه قضیهٔ حد مرکزی، مجموع متغیرهای تصادفی مستقل، که هر یک، میانگین و واریانس متناهی دارند، با افزایش شمار متغیرها، دارای توزیعی بسیار نزدیک به توزیع نرمال می شود. برای نمونه، بااین که چندین عامل بر خطای اندازه گیریِ یک کمیت اثر می گذارند ( مانند خطای وسیله اندازه گیری، خطای خواندن، شرایط محیط و … ) ، اما خطای اندازه گیری در اندازه گیری های پشت سرهم، دارای توزیع نرمال می شود، که حول مقدار ثابتی، که همان میانگین خطاست، پراکنده شده است. نمونه های دیگر، قد، وزن یا بهرهٔ هوشی افراد است.
توزیع نرمال، گاهی به سبب استفادهٔ گاوس از آن در کارهایش، توزیع گاوسی ( به انگلیسی: Gaussian ) هم نامیده می شود. همچنین، این توزیع، به دلیل شکل تابع چگالی احتمال آن، به توزیع زنگوله ای ( زنگ دیس ) نیز معروف است.
تابع چگالی احتمال این توزیع، دو پارامتر دارد که یکی، میانگین ( μ ) و دیگری انحراف معیار ( σ ) توزیع هستند. منحنی تابع چگالی احتمال این توزیع، حول میانگین آن، متقارن است. وقتی μ = 0 و σ = 1 باشد، این توزیع، نرمال استاندارد نامیده می شود.
یک توزیع احتمال، با تابع توزیع ( یا چگالی ) احتمال، تابع توزیع تجمعی، گشتاورها، تابع مشخصه و تابع مولد گشتاور مشخص می شود. در جدول چپ، این مشخصات برای توزیع نرمال آمده اند.
تابع چگالی احتمال توزیع نرمال با پارامترهای μ و σ 2 ، چنین است:
• f ( x ) {\displaystyle f ( x ) } ، تابعی متقارن حول x = μ {\displaystyle x=\mu } است؛ همچنین μ {\displaystyle \mu } ، میانگین، مد و میانهٔ توزیع است.
• نقاط عطف این منحنی، x = μ − σ {\displaystyle x=\mu - \sigma } و x = μ + σ {\displaystyle x=\mu +\sigma } است.
• این تابع، بارها و نامحدود، مشتق پذیر است.
گشتاورهای توزیع نرمال از هر مرتبه ای تعریف شده اند. یعنی برای هر p که Re> −۱، E هست.