توزیع لجستیک

توزیع لجستیک ( به انگلیسی: logistic distribution ) در نظریه احتمال و آمار، یک توزیع احتمال پیوسته است که تابع توزیع تجمعی آن تابع لجستیک است. از این توزیع در رگرسیون لجستیک و شبکه های عصبی پیشخور استفاده می شود. این توزیع از نظر شکل مشابه توزیع نرمال است، اما دنباله آن سنگین تر است ( یعنی کشیدگی بالاتری دارد ) . توزیع لجستیک نوع خاصی از توزیع توکی لمبدا است.
موقعی که پارامتر مکان μ برابر ۰ است و پارامتر مقیاس s برابر ۱ است، آنوقت تابع چگالی احتمال توزیع لجستیک به صورت زیر است:
از این رو به صورت کلی چگالی به این صورت است:
به دلیل آنکه این تابع را می توان به صورت مربع تابع سکانت هذلولوی "sech" بیان کرد، گاهی به آن توزیع سکانت - مربع یا sech - square ( d ) می گویند. [ ۱] ( توزیع سکانت هذلولوی را ببینید ) .
توزیع لجستیک نامش را از تابع توزیع تجمعی اش گرفته است، که یک نمونه از خانواده توابع لجستیک است. تابع توزیع تجمعی برای توزیع لجستیک نسخه مقیاس دهی شده تانژانت هذلولوی است.
در این معادله x متغیر تصادفی است، μ میانگین است، و s پارامتر مقیاس متناسب با انحراف معیار است.
وارون تابع توزیع تجمعی ( تابع چندک ) برای توزیع لجستیک همان تعمیم تابع لوجیت است. مشتق آن تابع چگالی چندک نامیده می شود. آن ها به صورت زیر تعریف می شود:
پارامتربندی جایگزین توزیع لجستیک را می توان از طریق بیان پارامتر مقیاس s به صورت دیدگاه انحراف معیار σ به کمک جایگزینی s = q σ انجام داد که در آن q = 3 / π = 0. 551328895 … است. فرم های جایگزین برای توابع بالا به صورت معقولانه ای سرراست اند.
توزیع لجستیک - و الگوی Sشکل تابع توزیع تجمعی ( تابع لجستیک ) و تابع چندک ( تابع لوجیت ) به صورت گسترده در زمینه های بسیار متنوعی استفاده می شوند.
یکی از معمول ترین کاربردها در رگرسیون لجستیک است، که از آن برای مدل سازی متغیرهای وابسته رسته ای ( مثل گزینه بله/خیر یا گزینه هایی از ۳ یا ۴ احتمال ) استفاده می شود، اگرچه از رگرسیون خطی استاندارد برای مدل سازی متغیرهای پیوسته ( مثل درآمد یا جمعیت ) استفاده می شود. مخصوصاً مدل های رگرسیون لجستیک را می توان به صورت مدل های متغیر پنهان با متغیرهای خطایی که از توزیع لجستیک آمده اند عبارت بندی کرد. این عبارت بندی در نظریه مدل های گزینه گسسته معمول است، که در آن توزیع لجستیک در رگرسیون لجستیک نقشی مشابه با توزیع نرمال در رگرسیون پروبیت بازی می کند. در واقع، توزیع های لجستیک و نرمال شکل کاملاً مشابهی دارند. با این حال، توزیع لجستیک دنباله سنگین تری دارد، که این موضوع باعث افزایش مقاوم بودن تحلیل نسبت به استفاده از توزیع نرمال می شود.