توزیع تی استیودنت

در هنگام تعیین تقریبی میانگین نمونه های برداشته شده از یک متغیر تصادفی، توزیع تی - استودنت ( به انگلیسی: Student's t - distribution ) مطرح می شود. این توزیع، اساس آزمونی به نام «تست تی» است که مقدار اطمینان از تفاوت دو متغیر تصادفی را از روی نمونه هایشان اعلام می کند.
آزمون تی - استیودنت ( به انگلیسی: T student ) برای ارزیابی میزان هم قوارگی یا یکسان بودن و نبودن میانگین نمونه ای با میانگین جامعه در حالتی به کار می رود که انحراف معیار جامعه مجهول باشد چون توزیع t در مورد نمونه های کوچک با استفاده از درجات آزادی تعدیل می شود، می توان از این آزمون برای نمونه های بسیار کوچک استفاده نمود.
فرض کنید که X1, . . . , Xn متغیرهای تصادفی مستقل نرمال با میانگین μ و واریانس σ2 هستند.
اگر میانگین n نمونه فوق مقدار:
و واریانس آن  :
باشند. می توان به راحتی اثبات کرد که متغیر Z:
یک متغیر تصادفی نرمال با میانگین صفر و واریانس ۱ است.
حال به جای متغیر Z فوق ، متغیر T را به صورت زیر تعریف می کنیم.
μ پارامتر غیر مرکزیت می باشد .
فرق این متغیر با Z، در این است که به جای σ ( مقدار واقعی واریانس ) از مقدار تخمینی آن S n . استفاده شده است. می توان نشان داد که متغیر T تابع توزیع احتمالی به فرم زیر دارد.
که ν ( که درجه آزادی تابع است ) برابر است با n − 1 و Γ تابع گاما است.
تابع فوق را به صورت زیر نیز می توان نگاشت:
که در آن B، تابع بتا است.
همان طور که دیده می شود، تابع توزیع نسبت به μ یا σ مستقل است.
ممان های این تابع توزیع به صورت زیر هستند.
اگر 0 < k < ν و k زوج باشد، با توجه به خواص تابع گاما، ممان ها به صورت زیر ساده می شوند:
برای بررسی این نکته که میانگین نمونه های برداشته شده از یک متغیر تصادفی تا چه حد به میزان «واقعی» ( که آزمایشگر نمی داند ) نزدیک است از تست تی - استیودنت استفاده می شود.
• مثال: میانگین طول عمر ۱۵ بیمار سرطانی که داروی الف را مصرف کردند ۱۱۰ روز است با واریانس ۱۵. میانگین طول عمر ۱۵ بیمار دیگر که داروی مورد آزمایش را مصرف نکردند، ۱۰۰ روز گشته است با واریانس ۱۲. سؤال: آیا بهبود در میانگین طول عمر بیمارانی که از داروی جدید استفاده کردند ناشی از عملکرد دارو است یا خطای میانگین گیری ناشی از تعداد محدود نمونه ها؟
• جواب: