تعادل درامد

تعادل درآمد. تعادل درآمد ( به انگلیسی: Revenue equivalence ) قضیه ای در نظریه حراج است که بیان می کند هر مزایده برای یک شیء، بین n نفر که نسبت به ریسک پذیری خنثی هستند ( یعنی به ریسک کردن یا ریسک نکردن تمایل ندارند ) ، به این صورت برقرار کنیم که هر یک از n نفر یک قیمت مستقل از بقیه در ذهن خود در نظر بگیرد که از یک توزیع اکیداً صعودی مشترک بین n نفر، بدست آمده باشد. به ازای هر سازوکار با شرایط زیر، متوسط میزان درآمد یکسان خواهد بود.
• شیء همواره به فردی می رسد که بیشترین پیشنهاد را داده باشد.
• هر فرد با کمترین پیشنهاد، سودی برابر با صفر خواهد داشت.
توجه کنید در این قضیه، فرض بر این است که پیشنهاددهنده ها یکسان هستند و دو پیشنهاددهنده که پیشنهاد یکسانی می دهند، هزینه یکسانی باید پرداخت کنند. [ ۱] [ ۲]
برای اثبات این قضیه، و استفاده از آن، از این توابع استفاده خواهد شد.
• v i {\displaystyle v_{i}} : ارزش پیشنهادی نفر i - ام که کمینه مقدار آن، v l {\displaystyle v_{l}} است.
• F ( v ) {\displaystyle F ( v ) } : تابع توزیع تجمعی که افراد براساس آن ارزش پیشنهادی خود را بدست می آورند.
• U i ( v ) {\displaystyle U_{i} ( v ) } : متوسط سودی که نفر i - ام با پیشنهاد دادن مقدار v {\displaystyle v} در حالت تعادل بدست می آورد.
• P i ( v ) {\displaystyle P_{i} ( v ) } : احتمال این که نفر i - ام با پیشنهاد دادن مقدار بتواند برنده شود.
• E i {\displaystyle E_{i}} : مقدار ثابتی که نفر i - ام باید برای شرکت در مزایده بپردازد.
با توجه به تعاریف، خواهیم داشت: U i ( v i ) = v i P i ( v i ) − E i
اگر پیشنهاددهنده i - ام که در حالت تعادل، ارزش v i را پیشنهاد می دهد، استراتژی دیگر با ارزش v ¯ i را دنبال کند، خواهیم داشت:
U i ( v ¯ i ) + ( v i − v ¯ i ) P i ( v ¯ i ) ≤ U i ( v i )
از آن جایی که ارزش v i نباید مشابه v i + d v باشد، بنابراین:
U i ( v i + d v ) + ( − d v ) P i ( v i + d v ) ≤ U i ( v i )
هم چنین v i + d v نباید مشابه v i باشد، بنابراین:
U i ( v i ) + ( d v ) P i ( v i ) ≤ U i ( v i + d v )
از ترکیب دو عبارت بالا نتیجه می شود که:
P i ( v i ) ≤ U i ( v i + d v ) − U i ( v i ) d v ≤ P i ( v i + d v )