تصاعد حسابی

پس از سوار شدن در پاسخ به آن فرد یهودی می فرماید :
یوم های هفته ات را در روز های سال ات ضرب کن، پاسخ سوالت را خواهی یافت. آن فرد عدد ۳۶۰ را در عدد ۷ ضرب میکند که برابر با ۲۵۲۰ می باشد. میگویند که سال قوم یهود دارای ۳۶۰ روز میباشد. این عدد را هم بصورت زیر میتوان نوشت : ۳۰�۱۲�۷
این حقیر متوجه شدم که این عدد کوچکترین ضریب مشترک اعداد یک رقمی از یک تا نه می باشد. این عدد را میتوان بصورت زیر نوشت : ۷�۵�۳�۳�۲�۲�۲=۲۵۲۰
پس از مدتی کوتاه به این فکر افتادم که ارقام ۱ تا ۹ دارای بزرگترین مخرج مشترک هم میباشند، بصورت زیر :
۳۶۲۸۸۰= ۹�۸�۷�۶�۵�۴�۳�۲
بعد از صرف یک فنجان چایی به این فکر افتادم که آیا از عدد ۳۶۲۸۸۰ میتوان روز های سال شمسی و ۱۲ ماه و هفته را استخراج کرد ؟ طبق تقویم جلالی ( خیامی ) و تقویم گریگوریان رومی یک سال شمسی دارای ۳۶۵ روز و هر روز ۲۴ ساعت و ۰۱۶، ثانیه! این ۱۶ هزارم ثانیه به مدت ۴ سال به یک روز تبدیل میشود و سال بعد را به ۳۶۶ روز متحول میسازد که سال کبیسه نامیده میشود. یک سال شمسی دارای ۶ ماه سی و یک روزه و ۵ ماه سی روزه و یک ماه بیست و نه روزه میباشد. بعد از اتمام چایی عزمم جزم شد که این اعداد را از بزرگترین مخرج مشترک اعداد یک رقمی از ۱ تا ۹ یعنی عدد ۳۶۲۸۸۰ استخراج نمایم. محاسبات کودکانه را به شرح زیر انجام دادم :
۸و۸= ۱۶ و ۱۶ را میتوان بصورت ۱۲ باضافه ۴ نوشت. ۱۲ را کنار گذاشتم برای تعداد ماه ها و ۴ را به صورت ۳ باضافه ۱ نوشتم. عدد یک را کنار گذاشتم برای یک سال و ۳ باقیمانده را با ۳۶۲ جمع کردم که ۳۶۵ شود، برای تعداد روزهای سال شمسی.
برای استخراج عدد ۳۱ راه ساده و کودکانه زیر را در این وادی شهودی در پیش گرفتم :
۸و ۸ مساوی با ۱۶ و ۱۲= ۲�۶ و ۱۶باضافه ۱۲ مساوی با ۲۸. و پس از این قدم ها عدد ۲۸ را با عدد ۳ جمع کردم و به عدد ۳۱ و به همراه آن به مرادم رسیدم. از آنجاییکه در بزرگترین ضریب مشترک عدد ۶ یافت می شود، میتوان گفت که ۶ ماه ۳۱ یک روزه درست باشد. در طلب دست یابی به عدد ۲۹ در طی این وادی سنگلاخی به راه زیر رسیدم : ۲۶= ۶۲ - ۸۸ و عدد ۲۶ را با عدد ۳ باقیمانده جمع کردم و مروارید از دل خاک بیرون آمد. از راه دیگر هم قابل حصول بود و آن راه را هم رفتم : ۲۰=۸ - ۲۸ و پس از برداشتن این قدم در قدم دوم نوشتم : ۳ و ۶ و ۲۰ روی هم گویا برابر اند با ۲۹.
یافتن عدد ۳۰ مقداری دشوار بود و به فنجان چایی دوم پناه بردم ، درست پس از نوشیدن آن گویا هاتف غیبی به مدد رسید و پرده را بر انداخت و نوری در سر راه اندیشه ام انداخت : ۲ و ۳ که باهم جمع شوند نتیجه ۵ خواهد شد و ۳۰= ۵�۶
قبل از تابش نور ، خودم این راه میان بر را رفته بودم، اما حاصل آن برایم قانع کننده نبود، زیرا دو عدد ۸ باقی مانده و بدون مصرف در مقابل چشمانم ایستاده بودند و گویا از من سوال میکردند، در محاسبه کودکانه ات، پس تکلیف ما چه میشود، مگر قرار نبود که همه مارا بدون تبعیض در نظر بگیری. در پاسخ به آنان ، خودکار را برداشتم و نوشتم: ۰= ۸ - ۸ و آنها را از این طریق قانع نمودم .
روز بعد چنین معادله یا فرمولی به ذهنم رسید :
N/ M= 2520
▪ بی نهایت <==== ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) = M
به سمت بی نهایت یعنی ضرب هر کدام از این اعداد در خود بطور بیشمار.
▪ N تک تک اعضای تصاعد به سوی بینهایت.
این کسر یا این معادله یک سری تصاعد حسابی و هندسی را بیان میکند که نه تنها یک ضریب تناسب بلکه دارای ۸ ضریب تناسب می باشد ( از ۲ تا ۹ ) . سر سلسله این تصاعد ها عدد معروف ۲۵۲۰ می باشد. این تصاعد به سمت منهای بینهایت هم قابل پیشروی است.
نمی توان یقین حاصل کرد که این داستان حقیقتا اتفاق افتاده است یا شیخ پس از کشف این عدد، این داستان را سروده است. بهر حال پژوهش در این زمینه به عهده محققین گرامی می باشد. امید اینکه این تصاعد روزی در کتب درس ریاضی اوایل دوران متوسطه در آینده درج گردد و مورد شگفت دانش آموزان گردد.
عدد ۲۵۲۰ را با حروف انگلیسی میتوان بصورت زیر نوشت: Bebo ( عدد صفر و حرف o شبیه به هم میباشند و در این کلمه بطور اختیاری نقش حرف o را بازی میکند ) .
تلفظ این ترکیب حروفی به زبان فارسی حداقل به دو صورت است : " بی بو " و " ببو "
ببو فعل امر از مصدر بوییدن یعنی استشمام کن.
بی بو شاید یکی از صفات واجب الوجود باشد.
از خودم می پرسم : آیا خداوند متعال گویا و خموش در قالب اعداد هم با انسان در حال گفتگوست؟

اگر جمله اول یک تصاعد حسابی و قدر نسبت آن باشد آنگاه جملهٔ ام این تصاعد برابر خواهد بود با
.
در حالت کلی رابطهٔ تصاعد حسابی برای جمله های ام و ام خواهد بود:
مقدار می تواند مثبت یا منفی باشد که در صورت مثبت بودن آن تصاعد به سمت بینهایت مثبت میل می کند و در صورت منفی بودن تصاعد به سوی منفی بینهایت می رود.
محتویات [نهفتن]
۱ مجموع
۲ ضرب
۳ منابع
۴ پیوند به بیرون
مجموع [ویرایش]
مجموع اعضای یک دنبالهٔ محدود از اعداد با رابطهٔ تصاعد حسابی عبارت است از:
با جمع طرفین دو عبارت فوق:
در نتیجه:
برای نمونه اگر فرض کنیم که جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه مجموع ۵۰ جملهٔ اول برابر با ۶۲۷۵ خواهد بود:
ضرب [ویرایش]
اگر در نظر بگیریم که جملهٔ اول یک تصاعد حسابی نام دارد و قدر نسبت تصاعد است؛ آنگاه حاصل ضرب جمله های آن تصاعد در یکدیگر، عبارت است از:
که در آن نماد افزایش فاکتوریل و نماد تابع گاما است. ( هشدار: فرمول بدست آمده به ازای کوچکتر مساوی صفر، نادرست خواهد بود )
فرمول بدست آمده در بالا، حالت کلی رابطهٔ حاصل ضرب است که آن را با فاکتوریل نمایش می دهیم و در صورتی که شروع ضرب از بجای یک از عدد دلخواه باشد:
در صورتی که و اعداد طبیعی باشند، حاصل ضرب عبارت خواهد بود از:
برای درک بهتر مطلب، مثال گفته شده در بالا را در نظر بگیرید، که در آ«جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه حاصل ضرب ۵۰ جملهٔ اول برابر خواهد بود با:
نمونهٔ دیگر
تصاعد حسابی زیر را در نظر بگیرید:
حاصل ضرب سه جملهٔ اول این تصاعد عبارت است از:

حال از روی ظاهر عبارت بالا می توان پاسخ را برای حدس زد:
مطالب گفته شده در بالا، به عنوان اثبات قابل پذیرش نیست و تنها برای درک بهتر بیان شد.
منابع [ویرایش]
ریاضیات ۲، اسماعیل بابلیان، میرزا جلیلی، رضا شهریاری اردبیلی، علیرضا مدقالچی، اداره کل چاپ و توزیع کتاب های درسی، ۱۳۸۰ ( کتاب رسمی وزارت آموزش و پرورش جمهوری اسلامی ایران برای سال دوم آموزش متوسطه در رشته نظری )
Sigler, Laurence E. ( trans. ) ( 2002 ) . Fibonacci's Liber Abaci. Springer - Verlag. pp. 259–۲۶۰. ISBN 0 - 387 - 95419 - 8.
پیوند به بیرون [ویرایش]
Eric W. Weisstein, Arithmetic progression at MathWorld.
Eric W. Weisstein, Arithmetic series at MathWorld.
رده های صفحه: ریاضیات پایهدنباله ها و سری هاسری های ریاضیدنباله اعداد صحیح