تانسور انحنای ریمان

در شاخه هندسه دیفرانسیلِ ریاضیات، تانسور انحنای ریمان ( Riemann curvature tensor ) یا تانسور ریمان - کریستوفل ( Riemann–Christoffel tensor ) ( براساس نام های برنهارت ریمان و الوین برونو کریستوفل ) ، رایج ترین روشی است که برای بیان انحنای منیفلدهای ریمانی مورد استفاده واقع می شود. در این روش تانسوری به هر نقطه از یک منیفلد ریمانی اختصاص داده می شود ( یعنی میدان تانسوری است ) . این میدان تانسوری ناوردایی از متریک ریمانی است که شکست مشتق هموردای دوم در جابجا شدن را می سنجد. یک منیفلد ریمانی دارای انحنای صفر است اگر و تنها اگر تخت باشد، یعنی به طور موضعی با فضای اقلیدسی ایزومتر باشد. [ ۱] همچنین تانسور انحنا را می توان برای هر منیفلد شبه - ریمانی یا حتی برای هر منیفلد مجهز با التصاق آفین تعریف گردد.
این تانسور ابزاری مرکزی در نظریه نسبیت عام است. در این نظریه ( نسبیت عام ) که نظریهٔ مدرن گرانش است، انحنای فضازمان اصولاً از طریق معادله انحراف ژئودزیک قابل رؤِیت است. تانسور انحنا نمایانگر نیروی کشندی است که توسط جسم صلبی که بر روی ژئودزیک حرکت می کند تجربه گشته و توسط معادلات ژاکوبی به صورت دقیق بیان می گردد.
فرض کنید ( M , g ) یک منیفلد ریمانی یا شبه - ریمانی دلخواه بوده و X ( M ) فضای تمام میدان های برداری روی M باشد. در این مقاله «تانسور انحنای ریمانی» را به صورت نگاشت R : X ( M ) × X ( M ) × X ( M ) → X ( M ) تعریف می کنیم که توسط فرمول زیر[ ۲] تعریف شده اند که در آن ها ∇ یک التصاق آفینی است:
R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ Z
یا به طور معادل:
R ( X , Y ) = − ∇
که در آن کروشه لی از میدان های برداری بوده و جابجاگر عملگرهای دیفرانسیلی است. برای هر جفت از بردارهای مماس u , v ، R ( u , v ) تبدیلی خطی از فضای مماس آن منیفلد است. R ( u , v ) برحسب u و u خطی بوده و لذا یک تنسور را تعریف می کند. گاهی این تنسور انحنا با علامت های متضادی تعریف می گردد.
اگر X = ∂ / ∂ x i و Y = ∂ / ∂ x j میدان های برداری باشند، آنگاه = 0 بوده و لذا فرمول به صورت زیر ساده سازی می گردد:
R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z .