تابع یک به یک

یک تابع یک به یک ( به انگلیسی: one - to - one function یا injective function ) در ریاضیات، یک تابع f است که عناصر متمایز را به عناصر متمایز نگاشت می دهد؛ یعنی اگر f ( x1 ) = f ( x2 ) برقرار باشد، در آن صورت باید حتماً x1 = x2 باشد. به زبان دیگر، هر عنصر هم دامنه تابع تصویر «حداکثر یک» عنصر عنصر از دامنه اش است. [ ۱] اصطلاح تابع یک - به - یک را نباید با تناظر یک - به - یک اشتباه کرد که به توابع دوسویه اشاره می کند، و توابعی هستند که هر عنصر در هم دامنه، تصویر دقیقاً یک عنصر از دامنه است.
فرض کنید f:X→Y یک تابع باشد. در این صورت برای تناظری که بین اعضای X و Y به وسیله تابع f برقرار می شود حالات مختلفی را می توان تصور کرد.
اولین حالت اینکه ممکن است به ازای هر y متعلق به برد تابع f، تنها یک x در دامنه موجود باشد که ( y=f ( x. این شرط را می توان چنین فرمول بندی کرد که اگر به ازای x1, x2∈X داشته باشیم ( f ( x1 ) =f ( x2 آنگاه x1=x2 یا:
چنین تابعی را با این ویژگی یک تابع یک به یک ( تک گزین ) یا انژکتیو می گوییم. [ ۲] یک به یک بودن تابع f را گاهی برای اختصار با نماد ۱–۱ نشان می دهند. در چنین حالتی ضمن اینکه به دلیل تابع بودن f هیچ دو زوج مرتبی از f دارای مؤلفه اول یکسان نمی باشند، به دلیل یک به یک بودن هیچ دو زوج مرتبی از f دارای مؤلفه دوم یکسان نیز نمی باشند.
یک به یک بودن یک تابع از روی نمودار تابع نیز قابل بررسی است. در نمودار پیکانی تابع یک به یک f، وضوحاً به هر عضو از همدامنه f انتهای حداکثر یک پیکان وارد شده است. به این ترتیب نمودار پیکانی شکل ( ۲ ) نمایش گر یک تابع غیر یک به یک است. همچنین نمودار یک تابع حقیقی یک به یک به گونه ای است که هر خط موازی محور xها، نمودار آن را حداکثر در یک نقطه قطع می کند. به این ترتیب نمودار شکل ( ۴ ) مربوط به تابعی غیر یک به یک است.
f: R - - - > R f ( x ) = |x| + x
x1 = - 2 - - - > f ( x1 ) = | - ۲| + ( - ۲ ) = ۰ x2 = - 3 - - - > f ( x2 ) = | - ۳| + ( - ۳ ) = ۰ x2 ≠ x1 - - - > f ( x1 ) = f ( x2 )
F یک به یک نیست ( ۱ )