تابع چگالی احتمال

در آمار و احتمال، به بیان ساده، تابعِ چگالیِ احتمالِ یک متغیر تصادفی پیوسته به تابعی گفته می شود که انتگرال آن در هر بازهٔ معین، برابر با احتمال قرار داشتن متغیر تصادفی در آن بازه است. [ ۱]
بنابراین، احتمال این که یک متغیر تصادفی پیوسته، یک مقدار معیّن اختیار کند، صفر است.
مقدار تابع چگالی احتمال همواره غیرمنفی است.
احتمال آنکه متغیر تصادفی X در بازه واقع شود از رابطهٔ زیر بدست می آید:[ ۲]
همچنین کل مساحت زیر نمودار برابر است با ۱؛ یعنی:
در نتیجه تابع توزیع تجمعی را می توان به صورت زیر نوشت:
و اگر f تابعی پیوسته باشد:
متغیر تصادفی X را در نظر بگیرید که مقدار آن در فضای اندازه ( X , A ) تعریف شده و توزیع احتمال آن اندازه X∗P در ( X , A ) است، آنگاه چگالی X نسبت به اندازه مرجع μ در ( X , A ) بواسطه مشتق رادون−نیکودیم به شکل زیر تعریف می شود:
به عبارت دیگر، به ازای هر مجموعه اندازه پذیر A ∈ A ، f می تواند هر تابع قابل اندازه گیری با ویژگی زیر باشد:
برخلاف احتمالی که به یک متغیر تصادفی گسسته نسبت داده می شود، تابع چگالی احتمال می تواند مقادیر بیشتر از یک را نیز اختیار کند. به طور مثال توزیع یکنواخت در بازه چگالی احتمالی f ( x ) = ۲ برای ۰ ≤ x ≤ ½ دارد و f ( x ) = ۰ برای خارج این بازه دارد با داشتن تابع چگالی احتمالی متغیر تصادفی X می توان مقدار امید ریاضی آن را به شکل زیر محاسبه کرد:
از روش های بدست آوردن تابع چگالی احتمالی متغیر تصادفی X مشتق گیری از تابع توزیع تجمعی ( FX ( x آن است و که به صورت زیر تعریف می شود
x → F X ( x ) = P ⁡ ( X ≤ x )
یک روش دیگر برای بدست آوردن تابع چگالی احتمالی متغیر تصادفی X تخمین مقدار آن در یک بازه کوچک مانند : است.
یا به عبارت دیگر
lim ε → 0 P ( x < X < x + ε ) / ε :
می توان بعضی از متغیرهای تصادفی گسسته را نیز با استفاده از تابع چگالی احتمالی توصیف کرد. به طور مثال برای متغیر تصادفی که دو مقدار ۱ و - ۱ را هر کدام با احتمال ۱/۲ می گیرد، می توان چگالی احتمال زیر را نسبت داد
به طور کلی اگر متغیر تصادفی n مقدار حقیقی را اختیار کند می توان تابع چگالی احتمال آن را به این شکل نوشت
که مقادیر x1, …, xn مقادیری هستند که متغیر تصادفی X با احتمال p1, …, pn اختیار می کند. .