تابع چندضابطه ای

در ریاضیات، تابع چندضابطه ای یا تابع تکه ای[ ۱] ( به انگلیسی: piecewise function ) به تابعی گفته می شود که تعریف اش بسته به مقدار متغیر مستقل ( ورودی تابع ) متفاوت باشد.
در این تابع، ضابطه های متفاوتی وجود دارد. هر ضابطه دامنهٔ ( ورودی ) مجزایی دارد. یک ضابطه می تواند مثلاً یک چندجمله ای، یک تابع مثلثاتی، یک تابع نمایی یا هر تابع دیگری باشد.
تابع های چندضابطه ای در نمادگذاری رایج ریاضی، به شکل آرایه ای از تابع ها و در کنارشان زیردامنهٔ مربوط به آن تابع مشخص می شوند. برای نمونه، تابع قدر مطلق را می توان به شکل زیر مانند یک تابع چندضابطه ای بیان کرد:
برای همهٔ مقدارهای x کوچک تر از صفر، نخستین تعریف ( −x ) به کار می رود که علامت مقدار ورودی تابع را برعکس می کند. برای همهٔ xهای بزرگ تر یا برابر با صفر، دومین تابع ( x ) به کار می رود که مقدار ورودی تابع را برمی گرداند.
یک تابع چندضابطه ای روی بازهٔ دلخواه پیوسته است اگر شرط های زیر برقرار باشد:
• تابع در آن بازه تعریف شده باشد.
• هر یک از زیرتابع های آن روی آن بازه پیوسته باشند.
• هیچ ناپیوستگی ای در نقاط پایانی زیردامنه های تابع روی آن بازه وجود نداشته باشد.
برای نمونه، تابع چندضابطه ای در شکل روبه رو در زیردامنه هایش پیوسته است، ولی در کل دامنه اش پیوسته نیست زیرا در نقطهٔ ناپیوستگی ای به شکل جهش دارد.
برای رسم تابع چندضابطه ای حواسمان باشد حتما در همان بازه که تابع تعریف می شود تابع را رسم کنیم.
نکته: نقاط مرزی را مراقب باشید، زیرا ممکن است در ضابطه ای تعریف نشوند و در نمودار آن را باید توخالی رسم کنیم.
مثال: تابع چندضابطه ای زیر را رسم کنید.
f ( x ) = { 2 x − 2   x > 2 5   x = 2 − 2 x   x < 2
حل:
برای حل این سوال باید اول نقطه یابی کنید. حتما نقطه گذاریتان در بازه مورد نظر باشد. همه نقاط مرزی پس بدهید اگر در بازه مورد نظر نبود آن نقطه توخالی خواهد بود.
2 x − 2 , x > 2 → ( 2 , 2 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 6 )
− 2 x , x < 2 → ( 0 , 0 ) , ( 1 , − 2 ) , ( 2 , − 4 )
در مثال بالا دیدید که نقاط مرزی توخالی کشیده شدن. پس نقاط مرزی را در نمودار لحاظ میکنیم ولی اگر در دامنه تعریف نشده بود آن را تو خالی میگذاریم.