تابع پیوسته

در ریاضیات، تابع پیوسته ( به انگلیسی: Continuous Function ) تابعی است که در مقادیر خروجی خود تغییرات ناگهانی ( به آن ناپیوستگی هم می گویند ) نداشته باشد. به طور دقیق تر، یک تابع پیوسته است اگر تغییرات به دلخواه کوچک در خروجی آن را بتوان با محدود کردن ورودی به مقادیری خاص تضمین کرد. اگر تابعی پیوسته نباشد به آن ناپیوسته گویند. تا قرن ۱۹م میلادی، ریاضیدانان به طور عمده به مفهوم شهودی پیوستگی تکیه می کردند، در طی قرن نوزدهم بود که تلاش هایی جهت ایجاد تعریف صوری پیوستگی برحسب δ و ϵ صورت گرفت.
پیوستگی توابع یکی از مفاهیم بنیادی و مرکزی در توپولوژی است، که در ادامه به طور کامل به آن پرداخته خواهد شد. بخش مقدماتی این مقاله به حالت خاصی که ورودی و خروجی تابع اعداد حقیق اند پرداخته خواهد شد. شکل قوی تر پیوستگی، پیوستگی یکنواخت است. به علاوه، این مقاله به بحث در مورد تعریف پیوستگی توابع، در حالت کلی تر بین فضاهای متری خواهد پرداخت. در نظریه ترتیب، به خصوص در نظریه دامنه، مفهوم پیوستگی را به اسم پیوستگی اسکات می شناسند. دیگر اشکال پیوستگی نیز وجود دارند ولی در این مقاله به آن ها پرداخته نمی شود.
به عنوان مثالی از توابع پیوسته، تابع H ( t ) که نشان دهنده ارتفاع یک گل بر حسب زمان است را می توان در نظر گرفت. در مقایسه، تابع M ( t ) که نشانگر مقدار پول در حساب بانکی بر حسب زمان است را می توان تابعی ناپیوسته در نظر گرفت، چرا که در آن "پرش" هایی در نقاطی که مقداری پول به حساب واریز یا از آن بیرون کشیده می شود وجود خواهد داشت.
تعریف اپسیلون - دلتا از پیوستگی اولین بار توسط برنارد بولزانو در ۱۸۱۷ داده شد. آگوستین لویی کوشی پیوستگی y = f ( x ) را به این صورت تعریف کرد: هر افزایش بی نهایت کوچکی چون α در متغیر مستقل x ، همیشه منجر به افزایش بی نهایت کوچک f ( x + α ) − f ( x ) در متغیر وابسته y شود ( به عنوان مثال Cours d'Analyse صفحه ۳۴ را ببینید ) . کوشی مقادیر بی نهایت کوچک را بر حسب متغیر ها بیان کرد، و این تعریف از پیوستگی قرابت نزدیکی با تعریف بی نهایت کوچک هایی که امروزه استفاده می شوند داشت ( بحث میکرو پیوستگی را ببینید ) . تعریف صوری و تمایز بین پیوستگی نقطه ای و پیوستگی یکنواخت اولین بار توسط بولزانو در دهه ۱۸۳۰ میلادی ارائه شد، اما اثر او تا دهه ۱۹۳۰ انتشار نیافت.