در ریاضیات یک تابع بر روی اعداد حقیقی تابع پله خوانده می شود اگر بتوان آن را به صورت ترکیب خطی متناهی از توابع مشخصه فاصله ها نوشت. به زبان ساده تر، یک تابع پله یک تابع ثابت تکه ای است که تعداد تکه های متناهی باشد.
تابعی مثل f : R → R ، یک تابع پله خوانده می شود اگر بتوان آن را به شکل زیر نوشت
که n ≥ 0 و α i اعداد حقیقی، A i فاصله، و χ A تابع مشخصه A هستند:
در این تعریف، فاصله های A i را می توان دارای خواص زیر دانست:
• فاصله ها گسسته هستند، A i ∩ A j = ∅ {\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset } برای i ≠ j {\displaystyle i\neq j}
• اتحاد فاصله ها برابر کل خط حقیقی ( محور حقیقی ) است، ∪ i = 0 n A i = R . {\displaystyle \cup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} . } .
در واقع، اگر نقطه شروعمان متفاوت باشد، می توان مجموعه ای از فاصله های مختلف را در نظر گرفت که فرض ها در مورد آن ها صدق کنند. برای مثال، تابع پله
را می توان به شکل زیر نوشت
• یک تابع ثابت مثال کوچکی از یک تابع پله است. در نتیجه، تنها یک فاصله وجود دارد، A 0 = R {\displaystyle A_{0}=\mathbb {R} } .
• تابع هویساید ( H ( x یک تابع پله مهم است. در پس برخی از آزمون های سیگنال یک مفهوم ریاضی نهفته است، مثل آنهایی که برای بدست آوردن پاسخ پله یک سیستم دینامیکی مورد استفاده قرار می گیرند.
• تابع مستطیلی، صورت نرمال شده تابع قوطی یک مثال از تابع پله واحد ساده است و برای مدل کردن تابع پالس مورد استفاده قرار می گیرد.
• تابع قسمت صحیح با توجه به این مقاله یک تابع پله نیست، زیرا دارای تعداد بینهایت فاصله است. ولی، برخی توابع پله ای تعریف می کنند که دارای تعداد بینهایت فاصله است. *. [ ۱]
• جمع و ضرب دو تابع پله ای یک تابع پله ای است. حاصلضرب یک تابع پله ای با یک عدد نیز همچنان یک تابع پله ای است. در نتیجه تابع پله ای بر روی اعداد حقیقی یک جبر را تشکیل می دهد.
• یک تابع پله ای تنها تعداد متناهی از اعداد را می پذیرد. اگر فاصله های A i , {\displaystyle A_{i}, } ، به ازای i = 0 , 1 , … , n , {\displaystyle i=0, 1, \dots , n, } در تعریف بالا از تابع پله متفاوت باشند و جمع آن محور حقیقی باشد، آنگاهبه ازای x ∈ A i {\displaystyle x\in A_{i}} داریم f ( x ) = α i {\displaystyle f ( x ) =\alpha _{i}\, }
• انتگرال لبسگو یک تابع پله f = ∑ i = 0 n α i χ A i {\displaystyle \textstyle f=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}\, } برابر ∫ f d x = ∑ i = 0 n α i ℓ ( A i ) , {\displaystyle \textstyle \int \!f\, dx=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell ( A_{i} ) , \, } است که ℓ ( A ) {\displaystyle \ell ( A ) } طول A , {\displaystyle A, } است و در اینجا فرض می کنیم که کل فاصله های A i {\displaystyle A_{i}} دارای طول متناهی هستند. در واقع این تساوی ( که به ما به عنوان تعریف به آن نگاه می کنیم ) می توانند اولین قدم در ساخت انتگرال لبسگو هستند. [ ۲]
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفتابعی مثل f : R → R ، یک تابع پله خوانده می شود اگر بتوان آن را به شکل زیر نوشت
که n ≥ 0 و α i اعداد حقیقی، A i فاصله، و χ A تابع مشخصه A هستند:
در این تعریف، فاصله های A i را می توان دارای خواص زیر دانست:
• فاصله ها گسسته هستند، A i ∩ A j = ∅ {\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset } برای i ≠ j {\displaystyle i\neq j}
• اتحاد فاصله ها برابر کل خط حقیقی ( محور حقیقی ) است، ∪ i = 0 n A i = R . {\displaystyle \cup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} . } .
در واقع، اگر نقطه شروعمان متفاوت باشد، می توان مجموعه ای از فاصله های مختلف را در نظر گرفت که فرض ها در مورد آن ها صدق کنند. برای مثال، تابع پله
را می توان به شکل زیر نوشت
• یک تابع ثابت مثال کوچکی از یک تابع پله است. در نتیجه، تنها یک فاصله وجود دارد، A 0 = R {\displaystyle A_{0}=\mathbb {R} } .
• تابع هویساید ( H ( x یک تابع پله مهم است. در پس برخی از آزمون های سیگنال یک مفهوم ریاضی نهفته است، مثل آنهایی که برای بدست آوردن پاسخ پله یک سیستم دینامیکی مورد استفاده قرار می گیرند.
• تابع مستطیلی، صورت نرمال شده تابع قوطی یک مثال از تابع پله واحد ساده است و برای مدل کردن تابع پالس مورد استفاده قرار می گیرد.
• تابع قسمت صحیح با توجه به این مقاله یک تابع پله نیست، زیرا دارای تعداد بینهایت فاصله است. ولی، برخی توابع پله ای تعریف می کنند که دارای تعداد بینهایت فاصله است. *. [ ۱]
• جمع و ضرب دو تابع پله ای یک تابع پله ای است. حاصلضرب یک تابع پله ای با یک عدد نیز همچنان یک تابع پله ای است. در نتیجه تابع پله ای بر روی اعداد حقیقی یک جبر را تشکیل می دهد.
• یک تابع پله ای تنها تعداد متناهی از اعداد را می پذیرد. اگر فاصله های A i , {\displaystyle A_{i}, } ، به ازای i = 0 , 1 , … , n , {\displaystyle i=0, 1, \dots , n, } در تعریف بالا از تابع پله متفاوت باشند و جمع آن محور حقیقی باشد، آنگاهبه ازای x ∈ A i {\displaystyle x\in A_{i}} داریم f ( x ) = α i {\displaystyle f ( x ) =\alpha _{i}\, }
• انتگرال لبسگو یک تابع پله f = ∑ i = 0 n α i χ A i {\displaystyle \textstyle f=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}\, } برابر ∫ f d x = ∑ i = 0 n α i ℓ ( A i ) , {\displaystyle \textstyle \int \!f\, dx=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell ( A_{i} ) , \, } است که ℓ ( A ) {\displaystyle \ell ( A ) } طول A , {\displaystyle A, } است و در اینجا فرض می کنیم که کل فاصله های A i {\displaystyle A_{i}} دارای طول متناهی هستند. در واقع این تساوی ( که به ما به عنوان تعریف به آن نگاه می کنیم ) می توانند اولین قدم در ساخت انتگرال لبسگو هستند. [ ۲]
wiki: تابع پله ای