تابع لجستیک

یک تابع لُجستیک ( به انگلیسی: logistic function ) یا منحنی لُجستیک، یک منحنی معمول Sشکل ( منحنی سیگموئید ) با معادله زیر است:
که در آن
• x 0 {\displaystyle x_{0}} ، مقدار x {\displaystyle x} برای نقطه میانه سیگموید است.
• L {\displaystyle L} ، مقدار ماکزیمم منحنی است.
• k {\displaystyle k} ، نرخ رشد لُجستیک یا شیب منحنی است. [ ۱]
برای مقادیر x در دامنه اعداد حقیقی، از − ∞ تا + ∞ ، منحنی S نشان داده شده در چپ به دست می آید، که در آن گراف f موقعی که x به + ∞ نزدیک می شود، به L نزدیک می شود، و موقعی که x به − ∞ نزدیک می شود، به صفر نزدیک می شود.
تابع لُجستیک کاربردهایی در زمینه های مختلف دارد که شامل زیست شناسی ( مخصوصا بوم شناسی ) ، زیست شناسی ریاضیاتی، شیمی، جمعیت شناسی، علم اقتصاد، علوم زمین، روان شناسی ریاضی، احتمالات، جامعه شناسی، علوم سیاسی، زبان شناسی، آمار، و شبکه های عصبی مصنوعی است. تابع هایپربولیک نوع ۱، نوعی تعمیم برای تابع لُجستیک است.
تابع لُجستیک استاندارد همان تابع لُجستیک با پارامترهای k = 1 ، x 0 = 0 ، L = 1 ، که منجر به زیر می شود:
در عمل به دلیل طبیعت تابع نمایی e − x ، معمولاً فقط کافی است تا تابع لُجستیک استاندارد را برای x روی محدوده کوچکی از اعداد حقیقی، مثل محدوده موجود در محاسبه کنیم، زیرا این تابع بسیار سریع به مقادیر نزدیک به اشباع یعنی ۰ و ۱ همگرا می شود.
تابع لُجستیک این ویژگی متقارن را دارد:
بنابراین x ↦ f ( x ) − 1 / 2 یک تابع فرد است.
تابع لُجستیک یک آفست و تابع تانژانت هذلولوی مقیاس دهی شده است:
یا
این موضوع از زیر به دست آمده است:
مشتق تابع لُجستیک استاندارد به سادگی محاسبه می شود. به این مشتق «توزیع لُجستیک» می گویند:
به صورت برعکس، پاد مشتق را می توان با جایگذاری u = 1 + e x محاسبه کرد، زیرا f ( x ) = e x 1 + e x = u ′ u ، از این رو ( با حذف ثابت انتگرال گیری )
در شبکه های عصبی مصنوعی، به آن، تابع سافت پلاس ( به انگلیسی: softplus ) می گویند و ( با مقیاس دهی ) یک تقریب صاف از تابع شیب است، همان طور که تابع لُجستیک ( با مقیاس دهی ) یک تقریب صاف از تابع پله ای هویساید است.
تابع لُجستیک استاندارد راه حل معادله دیفرانسیل معمولی غیرخطی مرتبه - اول ساده زیر: