تابع دلتای دیراک

در ریاضیات و علوم، تابع دلتای دیراک، یا تابع δ ، یک تابع تعمیم یافته، یا توزیع، روی محور اعداد حقیقی است که همه جا مقدار صفر دارد به جز در صفر، و روی کل محور حقیقی انتگرالی با مقدار یک دارد. [ ۱] [ ۲] [ ۳] تابع دلتا را گاهی به این صورت در نظر می گیرند: تابعی فرضی که منحنی اش در مرکز مختصات میخی به طور نامحدود بلند، و به طور نامحدود باریک است، با مساحت کل برابر با یک در زیر میخ، و از لحاظ فیزیکی نمایان گر یک جرم نقطه ای یا بار نقطه ای ایده آل شده.
این تابع شکل خاصی از ضربهٔ واحد است که اولین بار توسط فیزیکدان انگلیسی پاول دیراک مطرح شد و به نام او نام گذاری گردید.
این تابع که با حرف یونانی دلتا δ نمایش داده می شود، در نقطهٔ x = 0 مقداری برابر بی نهایت و در دیگر نقاط مقداری برابر با صفر دارد و در نتیجه انتگرال آن نیز روی بازهٔ منفی بی نهایت تا مثبت بی نهایت برابر یک خواهد بود.
باید توجه داشت که تابع دلتا با وجود اینکه با عنوان تابع خوانده می شود، در مفهوم، تابع نیست و بیشتر به یک تابع توزیع که در علم آمار کاربرد دارد، شبیه است. به عنوان مثال ضربهٔ یک چوب بیسبال به توپ در زمان کوتاهی که می توان آن را صفر محسوب کرد، وارد می شود. در نتیجه در این زمان نیروی واردشده به توپ به صورت یک تابع ظاهر نمی شود.
تابع دلتا مشتق تابع پله ای هوی ساید محسوب گردد.
دلتای دیراک را با اغماض می توان چنین تعریف کرد:
از تبعات این تعریف یکی این است که:
∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( x ) d x = f ( 0 )
حاصل ضرب توزیعی δ با x برابر با صفر است:
x δ ( x ) = 0
و بالعکس اگر ( xf ( x ) = xg ( x، که f و g توزیع هستند، آن گاه:
f ( x ) = g ( x ) + c δ ( x )
به ازای عدد ثابت c ای.
انتگرال تابع دیراک تحت تأخیر زمانی را، این رابطه می دهد:
∫ − ∞ ∞ f ( t ) δ ( t − T ) d t = f ( T ) .
که گاهی اوقات به عنوان خاصیت غربال کردن ( به انگلیسی: sifting ) [ ۴] یا خاصیت نمونه برداری ( به انگلیسی: sampling ) به آن اشاره می شود. گفته می شود که تابع دلتا مقدار را در نقطه t = T «غربال» می کند.
به طور کلی می دانیم:
δ ( f ( x ) ) = d u ( f ( x ) ) d f ( x )
که در آن u ( t ) تابع پله واحد است. سپس با استفاده از قاعده زنجیره ای داریم: