تابع توما

تابع توما تابعی است که در سال ۱۸۷۵ میلادی توسط ریاضیدان آلمانی، کارل یوهانس توما معرفی شد. تابع توما در تمام نقاط گنگ دامنه اش پیوسته و در تمام نقاط گویای دامنه اش ناپیوسته است. [ ۱]
فرض می کنیم A := { x ∈ R : x > 0 } در اینصورت تابع توما چنین تعریف می شود:
f ( x ) := { 0 , x ∉ Q 1 n , ( x = m n , ( m , n ) = 1 , m , n ∈ N )
یعنی برای هر عدد گنگ x> ۰ تعریف می کنیم f ( x ) :=۰ و برای یک عدد گویا در A به صورت m/n، که در آن اعداد طبیعی m و n بجز ۱ عامل مشترکی ندارند، [ یادداشت ۱] تعریف می کنیم f ( m/n )   := ۱/n. [ ۲] [ ۳]
با توجه به تعریف بالا ادعا می کنیم که f در هر عدد گنگ در A پیوسته و در هر عدد گویا در A ناپیوسته است.
اگر a> ۰ گویا باشد، فرض می کنیم ( xn ) دنباله ای از اعداد گنگ در A باشد که به a همگراست. در اینصورت lim ( f ( xn ) ) = ۰، در حالی که f ( a ) > ۰. بنابراین f در a ناپیوسته است. [ ۴]
حال فرض می کنیم x۰ عدد گنگ دلخواهی باشد. حدس می زنیم که lim x → x 0 f ( x ) = 0 برای تحقیق در درستی این حدس باید نشان دهیم که:
∀ ε ∃ δ ∀ x ( 0 < | x − x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) | < ε )
اگر x∉ ℚ، گزارهٔ بالا درست است. [ یادداشت ۲] در غیر اینصورت عدد N را طوری انتخاب می کنیم که ۱/N < ε. فرض کنید
δ = M i n { | m n − x 0 | : 1 ≤ m ≤ N }
واضح است که 0 < δ، حال اگر |x - x۰| < δ آنگاه مخرج عدد گویای x بزرگتر از N است و
|f ( x ) | = ۱/n < ۱/N < ε
پس حدسمان ثابت شد. یعنی ثابت کردیم که تابع f در عدد گنگ دلخواه x۰ پیوسته است. [ ۵]