تئوری سامانه های پویا

تئوری سامانه های پویا یکی از حوزه های ریاضیات است که برای توصیف رفتار سامانه های پویا ی پیچیده استفاده می شود، که معمولاً با استفاده از معادلات دیفرانسیل یا معادلات مختلف بیان می شود. هنگامی که معادلات دیفرانسیل استفاده می شود، این نظریه به نام سامانه های پویای پیوسته نامیده می شود. از دیدگاه فیزیکی، سامانه های پویا پیوسته تعمیم مکانیک کلاسیک است؛ تعمیمی که در آن معادلات حرکت به طور مستقیم فرض می شوند و محدودیتی برای صدق کردن در معادلات اویلر - لاگرانژ که از اصل کمترین کنش هستند، ندارد. وقتی معادلات مختلف استفاده می شوند، این نظریه سامانه های پویای گسسته نامیده می شود. هنگامی که متغیر زمان روی مجموعه ای که در برخی از فواصل گسسته و در فواصل دیگر پیوسته است حرکت می کند یا هر مجموعه ای از زمان دلخواه دیگری مانند مجموعه کانتور، بر اساس یک معادله دینامیکی در مقیاس های زمان حرکت می کند. بعضی از شرایط نیز ممکن است توسط اپراتورهای مخلوط، مانند معادلات دیفرانسیل و معادلات دیگر، مدل سازی شوند.
این تئوری با رفتارهای کیفی و ذات سیستم های پویا سروکار دارد و وقتی ممکن باشد راه حل های، معادلات حرکت سیستم های ذاتاً مکانیکی یا در غیر این صورت فیزیکی را بررسی می کند، مثل مدار سیاره ها یا رفتار مدارهای الکترونیکی و همچنین سیستم هایی که از زیست شناسی، اقتصاد یا جاهای دیگر به وجود می آیند. بیشتر بررسی های مدرن بر روی سیستم های آشوبی تمرکز دارد.
این رشته همچنین سامانه های پویا یا تئوری ریاضیات سامانه های پویا نیز خوانده می شود
نظریهٔ سامانهٔ پویا و نظریه آشوب با رفتار کیفی سامانه پویا در دراز مدت سر و کار دارد. در اینجا تمرکز بر روی پیدا کردن راه حل های معادله هایی که سامانه های پویا را تعریف می کنند ( که گاهی این کار بی نتیجه است ) نمی باشد، بلکه تمرکز بر روی جواب دادن به سوال هایی مانند " آیا سامانه به یک حالت پایدار در دراز مدت می رسد و اگر این اتفاق می افتد حالت های پایدار کدامند؟" یا " آیا رفتارهای سامانه در دراز مدت به حالت اولیهٔ آن بستگی دارد؟" است.
یک هدف مهم تعریف نقاط ثابت یا حالت های پایدار یک سامانهٔ پویای داده شده است؛ این مقادیر متغیرهایی هستند که در طول زمان تغییر نمی کنند. برخی از این نقطه های ثابت جذب کننده هستند، به این معنی که اگر سامانه در نزدیکی حالتی شروع به کار کند، به سمت نقطهٔ ثابت همگرا می شود.