برش ددکیند

در ریاضیات، برش های ددکیند، روشی برای ساختن اعداد حقیقی از روی اعداد گویا هستند. این برش ها به نام ریچارد ددکیند، ریاضیدان آلمانی، نام گذاری شده اند اما ابتدا توسط جوزف برنارد مورد توجه قرار گرفته بودند. یک برش ددکیند، یک افراز از مجموعه اعداد گویا به دو مجموعه ناتهی A و B است به گونه ای که همهٔ اعضای A از B کوچکتر باشند و A هیچ بزرگترین عضوی نداشته باشد. مجموعه B می تواند کوچکترین عضو داشته باشد یا نداشته باشد. اگر B کوچکترین عضو داشته باشد، این برش با آن عدد گویا مطابق است. در غیر این صورت این برش یک عدد حقیقی یگانه را تعریف می کند که می توان به نوعی آن را پرکنندهٔ «شکاف» میان A و B دانست. به عبارت دیگر A حاوی هر عدد گویای کوچکتر از برش، و B حاوی هر عدد گویای بزرگتر از برش است. یک برش گنگ، با عدد گنگی برابر قرار داده می شود که در هیچ یک از دو مجموعه نیست. هر عدد حقیقی، گویا یا گنگ، با برش یگانه ای متناظر است. [ ۱]
برش های ددکیند را می توان از اعداد گویا به هر مجموعه ای با ترتیب کامل تعمیم داد. برای این کار هر برش ددکیند افرازی از آن مجموعه به دو مجموعه ناتهی است که یکی از پایین و دیگری از بالا بسته است و اولی هیچ بزرگترین عضوی ندارد.
می توان به سادگی نشان داد که هر برش ددکیند در اعداد حقیقی، با تنها یک برش ددکیند در اعداد گویا متناظر است. همچنین هر برش اعداد حقیقی با یک عدد حقیقی ( کوچکترین عضو مجموعه B ) متناظر است. به عبارت دیگر، مجموعه اعداد حقیقی که با برش های ددکیند تعریف می شود پیوستاری کامل بدون هیچ شکاف اضافی است.
یک برش ددکیند افرازی از اعداد گویا ( Q ) است به دو زیر مجموعه A و B به گونه ای که
• A {\displaystyle A} ناتهی ست.
• A ≠ Q {\displaystyle A\neq \mathbb {Q} } .
• اگر x , y ∈ Q {\displaystyle x, y\in \mathbb {Q} } ، x < y {\displaystyle x< y} و y ∈ A {\displaystyle y\in A} ، آنگاه x ∈ A {\displaystyle x\in A} ( A {\displaystyle A} به پایین بسته است ) .
• اگر x ∈ A {\displaystyle x\in A} , آنگاه یک y ∈ A {\displaystyle y\in A} وجود دارد به نحوی که y > x {\displaystyle y> x} ( A {\displaystyle A} دارای هیچ بزرگترین عضو نیست ) .
با حذف دو مورد ابتدایی، آنچه حاصل می شود محور اعداد حقیقی گسترده شده است.