انتگرال گیری جزء به جزء
فرهنگستان زبان و ادب
دانشنامه عمومی
انتگرال گیری جزء به جزء در علم ریاضیات و به خصوص در محاسبه انتگرال کاربرد دارد. در این روش یک انتگرال که محاسبه آن غیرممکن یا پیچیده است با تغییر متغیر به انتگرالی هم ارز ولی قابل محاسبه تبدیل می شود.
به صورت ساده اگر u = f ( x ) و v = g ( x ) و همچنین دیفرانسیل آن ها به صورت du = f ' ( x ) dx و dv = g' ( x ) dx باشد داریم:
که به صورت ساده تر می توان نوشت:
با اینکه روش بازگشتی تعریف شده درست است، معمولاً به خاطر سپردن و کاربرد آن دشوار است. غالباً روشی بسیار آسان تر با عناوینی نظیر «روش جدولی»، «روش مشتق و انتگرال»، «روش جز به جز پی در پی یا مکرر»، «روش هویساید» یا «تیک تاک توی» به دانشجویان آموخته می شود. این روش وقتی یکی از توابع u = f ( x ) یا v = g ( x ) چندجمله ای باشند، در بهترین شرایطش قرار می گیرد، چونکه پس از مشتق گیری های پی در پی تابع چندجمله ای صفر می شود. این روش برای آن دسته از توابع که خود را ( پس از چند بار مشتق یا انتگرال گیری ) تکرار می کنند نیز بسیار کاراست.
برای مثال انتگرال زیر را در نظر بگیرید:
∫ x 3 cos x d x .
حال به سادگی نخستین خانه ستون الف را در دومین خانه ستون ب، دومین خانه ستون الف را در سومین خانه ستون ب، و… ضرب کرده، و سپس علامت این جمله ها را با شروع از اولی مثبت، منفی، مثبت، منفی و همین طور یکی در میان قرار دهید. توجه شود که علامت جمله اول +، دوم - و… است. در شکل زیر نحوه کار را می بینید:
نتیجه به شکل زیر خواهد بود:
( + ) ( x 3 ) ( sin x ) − ( 3 x 2 ) ( − cos x ) + ( 6 x ) ( − sin x ) − ( 6 ) ( cos x ) + C .
با کمی دقت می توان روش فوق را برای توابعی که پس از چند بار مشتق یا انتگرال گیری خود را تکرار می کنند، گسترش داد. به مثال زیر دقت کنید:
∫ e x cos x d x .
به نحوه علامتگذاری در این مثال توجه کنید:
در این مثال در گام آخر لازم است که از جمله آخری ( مضرب آخری ) انتگرال بگیریم:
با ساده سازی انتگرال های دو طرف داریم:
در نتیجه حاصل به صورت زیر می شود:
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفبه صورت ساده اگر u = f ( x ) و v = g ( x ) و همچنین دیفرانسیل آن ها به صورت du = f ' ( x ) dx و dv = g' ( x ) dx باشد داریم:
که به صورت ساده تر می توان نوشت:
با اینکه روش بازگشتی تعریف شده درست است، معمولاً به خاطر سپردن و کاربرد آن دشوار است. غالباً روشی بسیار آسان تر با عناوینی نظیر «روش جدولی»، «روش مشتق و انتگرال»، «روش جز به جز پی در پی یا مکرر»، «روش هویساید» یا «تیک تاک توی» به دانشجویان آموخته می شود. این روش وقتی یکی از توابع u = f ( x ) یا v = g ( x ) چندجمله ای باشند، در بهترین شرایطش قرار می گیرد، چونکه پس از مشتق گیری های پی در پی تابع چندجمله ای صفر می شود. این روش برای آن دسته از توابع که خود را ( پس از چند بار مشتق یا انتگرال گیری ) تکرار می کنند نیز بسیار کاراست.
برای مثال انتگرال زیر را در نظر بگیرید:
∫ x 3 cos x d x .
حال به سادگی نخستین خانه ستون الف را در دومین خانه ستون ب، دومین خانه ستون الف را در سومین خانه ستون ب، و… ضرب کرده، و سپس علامت این جمله ها را با شروع از اولی مثبت، منفی، مثبت، منفی و همین طور یکی در میان قرار دهید. توجه شود که علامت جمله اول +، دوم - و… است. در شکل زیر نحوه کار را می بینید:
نتیجه به شکل زیر خواهد بود:
( + ) ( x 3 ) ( sin x ) − ( 3 x 2 ) ( − cos x ) + ( 6 x ) ( − sin x ) − ( 6 ) ( cos x ) + C .
با کمی دقت می توان روش فوق را برای توابعی که پس از چند بار مشتق یا انتگرال گیری خود را تکرار می کنند، گسترش داد. به مثال زیر دقت کنید:
∫ e x cos x d x .
به نحوه علامتگذاری در این مثال توجه کنید:
در این مثال در گام آخر لازم است که از جمله آخری ( مضرب آخری ) انتگرال بگیریم:
با ساده سازی انتگرال های دو طرف داریم:
در نتیجه حاصل به صورت زیر می شود:
wiki: انتگرال گیری جزء به جزء
پیشنهاد کاربران
پیشنهادی ثبت نشده است. شما اولین نفر باشید