انالیز هارمونیک

آنالیز هارمونیک. آنالیز هارمونیک شاخه ای از ریاضیات است که مرتبط با نمایش توابع یا سیگنال ها به صورت برآیندی از امواج پایه بوده و به مطالعه و نمایش مفاهیم سری های فوریه و تبدیل فوریه ( یعنی فرم توسعه یافته ی آنالیز فوریه ) می پردازد. در دو قرن اخیر، این شاخه به شاخه ای وسیع تبدیل شده که کاربرد های گسترده ای در نظریه اعداد، نظریه نمایش، پردازش سیگنال، مکانیک کوانتومی، آنالیز جزر و مدی و علوم اعصاب دارد.
عبارت "هماهنگ ها" ( به انگلیسی harmonics ) از ریشه یونانی harmonikos به معنای "ماهر در موسیقی" گرفته شده است. [ ۱] در مسائل فیزیکی مقدار ویژه ای، این که فرکانس یک موج ضرایب صحیحی از موج دیگری باشد، معنا دار شد، مثل هماهنگ های نوت های موسیقایی، اما این اصطلاح ( هماهنگ ) کاربرد هایی فراتر از معنی اصلی آن پیدا کرد.
تبدیل فوریه کلاسیک روی R n هنوز هم یک حوزه زنده تحقیقاتیست، بخصوص تبدیل های فوریه روی اشیای کلی تری چون توزیعات تمپرد. به عنوان مثال، اگر ما برخی الزامات روی توزیعی چون f اعمال کنیم، می توانیم آن ها را به زبان تبدیل فوریه روی f نیز ترجمه کنیم. قضیه پالی - وینر مثالی از این فرایند است. قضیه پالی - وینر فوراً ایجاب می کند که اگر f یک توزیع ناصفر با تکیه گاهی فشرده باشد ( شامل توابع با تکیه گاه ثابت هم می شود ) ، آنگاه تبدیل فوریه آن هیچ گاه تکیه گاه فشرده نخواهد داشت. این حالت بسیار مقدماتی از اصل عدم قطعیت در بستر آنالیز - هارمونیک است.
سری های فوریه را می توان در بستر فضاهای هیلبرت به طور مناسب تری مطالعه کرد، چرا که در آنجا ارتباطی بین آنالیز هارمونیک و آنالیز تابعی ارائه می کند.
بسیاری از کاربرد های آنالیز هارمونیک در علم و مهندسی با ایده یا فرضی شروع شد که یک پدیده یا سیگنال را می توان به صورت ترکیبی از جمع تک مؤلفه های ارتعاشی در نظر گرفت. جزر و مد اقیانوس و ریسمان مرتعش مثال های رایج و ساده ای هستند. اغلب رهیافت های نظری سعی می کنند با معادلات دیفرانسیل یا دستگاهی از معادلات استفاده کنند تا ویژگی های اساسی سیستم شامل دامنه، فرکانس و فاز های مؤلفه های ارتعاشی را توصیف کنند. معادلات خاصی به نوع میدان وابستگی دارند، اما نظریه ها عموماً سعی می کنند معادلاتی انتخاب کنند که نمایانگر اصول اصلی قابل کاربرد باشند.
رهیافت آزمایشی اغلب نیازمند داده هایی اند که به طور دقیق پدیده مورد نظر را ارزیابی کند. به عنوان مثال، در مطالعه جزر و مد، آزمایشگر ممکن است نمونه هایی از عمق آب را به صورت تابعی از زمان جمع آوری کند به گونه ای که بازه های فضایی به میزان کافی به هم نزدیک باشند تا هر نوسان در بازه زمانی به اندازه کافی بلند برای مشاهده چندین دوره نوسانی باشد.