اصل موضوع زوج سازی

اصل موضوع زوج سازی در ریاضیات بیان می کند به ازائ هر دو مجموعه، مجموعه سومی وجود دارد که آن دو مجموعه به آن تعلق دارند یا به عبارت دیگر اگر a و b دو مجموعه باشند، مجموعه ای چون A هست که a∈A و b∈A.
ممکن است این سؤال برای شما پیش بیاید: آیا به قدر کافی مجموعه وجود دارد تا بتوان اطمینان یافت که هر مجموعه ای عضو مجموعهٔ دیگری است؟ یا کمی دقیق تر: اگر دو مجموعهٔ فرضی داشته باشیم، آیا می توانیم مجموعهٔ سومی پیدا کنیم که شامل آن دو مجموعهٔ مفروض باشد؟ در مورد بیش از دو مجموعه یا به عبارتی چند مجموعه چه طور؟
برای اولین قدم تا رسیدن به پاسخ این پرسش ها در نظریه اصل موضوعی مجموعه ها، به اصل موضوع مجموعه ساز دیگری نیازمندیم که اصل موضوع زوج سازی ( Axiom of Pairing ) نام دارد.
این اصل بیان می کند:
یا به ازائ هر دو مجموعه، مجموعهٔ سومی وجود دارد که آن دو مجموعه به آن تعلق دارند یا به عبارت دیگر اگر a و b دو مجموعه باشند، مجموعه ای چون A هست که a∈A و b∈A.
توجه داشته باشید که اصل موضوع زوج سازی بیان می کند A شامل a و b است ولی نمی گوید A دقیقاً شامل a و b است، اما با استفاده از اصل موضوع تصریح می توان مجموعه ای ساخت که دقیقاً شامل a و b باشد.
اگر a و b دو مجموعه باشند، برطبق اصل موضوع زوج سازی، مجموعه ای چون A وجود دارد که شامل a و b است. حال اگر اصل موضوع تصریح را بکار برده و مجموعه {x∈A:x=aΛx=b} را در نظر بگیریم، این مجموعه زیرمجموعه ای از A می باشد که فقط شامل دو عضو a و b بوده و عبارت است از {B={a, b.
پس در بیان نتیجه ای از اصل موضوع زوج سازی می توان گفت: برای هر دو مجموعهٔ دلخواه a و b مجموعه ای چون A وجود دارد که دقیقاً شامل a و b باشد یا {A={a, b.
اصل موضوع گسترش یکتا بودن مجموعه فوق را تضمین می کند و لذا یک مجموعه وجود دارد که دقیقاً شامل a و b است و همان طور که در قبل مشاهده کردید آن را به صورت {a, b} نشان می دهیم و به آن زوج نامرتب a و b می گوییم.
حال این امکان را داریم تا به برخی از سؤالاتی که در ابتدا مطرح کردیم پاسخ دهیم. فرض کنید a مجموعه ای دلخواه باشد. در این صورت می توان اصل موضوع زوج سازی را در مورد a و a بکار برد و زوج نامرتب {a, a} را تشکیل داد که همان مجموعهٔ تک عضوی {a} است. و در این حالت داریم {a∈{a. پس پاسخ این سؤال که آیا هر مجموعه عضو مجموعه ای دیگر است مثبت است.