اصل موضوع اجتماع

فرض کنید A و B دو مجموعه باشند. در این صورت طبیعی است که بخواهیم اعضای دو مجموعه مفروض را در یک مجموعه فراگیر به صورت توأم در اختیار داشته باشیم. یکی از راه های توصیف چنین مجموعه فراگیری در صورت وجود این است که شرط کنیم این مجموعه همه عناصری را که حداقل به یکی از دو عضو زوج {A, B} تعلق دارند، شامل باشد. توجه کنید که {A, B} بنابر اصل موضوع زوج سازی یک مجموعه است.
این نحوه فرمول بندی، خود به خود نوعی تعمیم وسیع را به ذهن راه می دهد، بدین صورت که چنین ساختمانی، نه فقط برای یک زوج مجموعه، بلکه در مورد هر دسته دلخواه از مجموعه ها قابل اعمال است. به عبارت دیگر فرض کنید C دسته ای دلخواه از مجموعه ها باشد. آیا می توان مجموعه ای فراگیر در اختیار داشت که شامل همه عناصری باشد که به حداقل یک عضو C متعلق باشند؟
برای پاسخ به این سؤال به اصل مجموعه ساز جدیدی به نام اصل موضوع اجتماع ( Axiom of union ) نیاز داریم.
اصل موضوع اجتماع بیان می کند:
یا به بیان دیگر برای هر دسته دلخواه از مجموعه ها، مجموعه ای وجود دارد که شامل همه عناصری است که حداقل به یکی از مجموعه های دسته مفروض متعلق باشند.
به بیان دیگر اگر C دسته ای از مجموعه ها باشد، مجموعه ای چون U وجود دارد که اگر X∈C موجود باشد به طوری که x∈X آنگاه x∈U.
اما توجه داشته باشید که مجموعه فراگیر U که تا به حال وجود آن را بر اساس اصل موضوع اجتماع تضمین کرده ایم، ممکن است بیش از مورد نیاز فراگیر باشد و شامل عناصری باشد که به هیچ یک از عناصر X در دسته C متعلق نباشند چرا که اصل موضوع اجتماع بیان می کند U شامل عناصر مجموعه های X در C است ولی تضمین نمی کند که این مجموعه شامل اعضای دیگری نیست.
برای رفع این مشکل و ایجاد مجموعه ای که دقیقاً شامل همه عناصری باشد که به حداقل یکی از مجموعه های دسته C متعلق باشند کافی است اصل موضوع تصریح را به کار گرفته و مجموعه:
را تشکیل دهیم. در این صورت شرط لازم و کافی برای اینکه x∈U ای متعلق به این مجموعه باشد این است که X∈C ای موجود باشد که x∈X ( یعنی x به حداقل یکی از مجموعه های دسته C متعلق باشد. ) به زبان منطق ریاضی داریم:
اصل موضوع گسترش یگانگی این مجموعه را تضمین می کند و لذا می توان برای آن نام و نماد مخصوصی را اختصاص داد. این مجموعه را اجتماع دسته C از مجموعه ها می خوانیم و با نمادهای ∪ C و ∪ A ∈ C A نمایش می دهیم و مطابق تعریف