استقرای ترامتناهی

استقرای ترامتناهی ( به انگلیسی: transfinite induction ) یک تعمیم استقرای ریاضی به مجموعه های خوش ترتیب، به عنوان مثال برای مجموعه ای از اعداد ترتیبی ( عدد ترتیبی یا اردینال ) یا اعداد کاردینالی ( عدد اصلی یا کاردینال ) است. ( P ( α را به عنوان یک ویژگی تعریف شده برای همهٔ اعداد ترتیبی α در نظر بگیرید. فرض کنید که هر گاه ( P ( β برای همهٔ β < α ها درست باشد، پس ( P ( α نیز درست است ( از جمله درست بودن ( P ( 0 نشان می دهد که ( P ( α برای همهٔ α ها درست است ) پس استقرای ترامتناهی به ما می گوید که P برای همه اعداد ترتیبی درست است. در نتیجه داریم، اگر ( P ( α برای همه β < α ها درست باشد، پس ( P ( α برای همه α ها درست است. یا عملاً بیشتر: به منظور اثبات یک ویژگی P برای همه اعداد ترتیبی α، می توان فرض کرد که در حال حاضر P برای همه β < α ها درست باشد. معمولاً اثبات به سه حالت تقسیم می شود: حالت صفر: ثابت کنیم که ( P ( ۰ درست است. حالت تالی ( به انگلیسی: successor ) : ثابت کنیم که برای هر عدد ترتیبی تالی ( P ( α + ۱ ) ، ( α + ۱ ( و در صورت لزوم، ( P ( β برای همه β < α ها ) نتیجه می شود. حالت حدی ( به انگلیسی: limit ) : ثابت کنیم که برای هر اوردینال حدی P ( λ ) ، λ از ( P ( β برای همه β < λ نتیجه می شود. توجه کنید که هر سه مورد مشابه اند به جز در نوع اردینالی که در نظر گرفته شده است. آن ها به طور رسمی نیاز ندارند که به طور جداگانه در نظر گرفته شوند، اما در عمل اثبات معمولاً خیلی متفاوت تر از آنند که به ارائه جداگانه نیاز نداشته باشند. صفر، گاهی به عنوان یک اوردینال حدی در نظر گرفته می شود و ممکن است گاهی در اثبات ها مانند اردینال های حدی با آن برخورد شود.
روابط بازگشتی ترامتناهی ( به انگلیسی: transfinite recursion ) شبیه به استقرای ترامتناهی است. با این حال، به جای اثبات این که چیزی برای همه اعداد ترتیبی صحیح است، ما دنباله ای از اشیاء، یکی برای هر اوردینال، می سازیم. به عنوان مثال، یک پایه از فضای برداری ( احتمالاً بی نهایت بُعدی ) را می توان با انتخاب یک بردار v0 و با انتخاب یک بردار برای هر اوردینال α که در فضای بردارهای تولید شده توسط {vβ | β < α} نیست، ساخت. این فرایند زمانی که هیچ برداری نتواند انتخاب شود متوقف می شود. به بیان رسمی تر، می توانیم قضیه روابط بازگشتی ترامتناهی را به طور زیر شرح دهیم: قضیه روابط بازگشتی ترامتناهی ( نسخه ۱ ) . برای یک تابع کلاسی داده شده G: V → V ( که در آن V کلاس همه مجموعه هاست ) ، یک دنباله ترامتناهی منحصر به فرد F: Ord → V ( که در آن Ord کلاس همه اعداد ترتیبیست ) وجود دارد به طوری که ( F ( α ) = G ( F⌠α برای همه اعداد ترتیبی α؛ که ⌠ نشان دهنده تحدید دامنه F به اعداد ترتیبی کوچکتر از α است. مانند حالت استقرا، ممکن است ما انواع مختلف اردینال ها را به طور جداگانه در نظر بگیریم: نسخه دیگری از روابط بازگشتی ترامتناهی به شرح زیر است: قضیه روابط بازگشتی ترامتناهی ( نسخه ۲ ) . برای مجموعهٔ داده شدهٔ g۱ و توابع کلاسی G۲ و G۳، یک تابع منحصر به فرد F: Ord → V وجود دارد به طوری که F ( ۰ ) = g۱، ( ( F ( α + ۱ ) = G۲ ( F ( α، برای هر α ∈ Ord، ( F ( λ ) = G3 ( F ⌠ λ، برای تمام اعداد حدی λ ≠۰. توجه داشته باشید که لازم است دامنه های G۲ ، G۳ به اندازه کافی گسترده باشند تا خواص فوق معنی دار شوند. منحصر به فرد بودن این دنباله که موجب صحت این خواص می شود از طریق استقرای ترامتناهی به اثبات می رسد. به طور کلی، می توان هر چیزی را توسط روابط بازگشتی ترامتناهی در هر رابطه خوش بنیان R تعریف کرد. ( R نیاز نیست که حتماً یک مجموعه باشد. می تواند یک کلاس سره باشد، به شرط آن که یک رابطه «مجموعه مانند» باشد که برای هر x، مجموعهٔ تمام yهایی که x R y باید یک مجموعه باشد )