ازمون نسبت

آزمون نسبت. در ریاضی، آزمون دالامبر یا آزمون نسبت، آزمونی ( یا معیاری ) است برای بررسی همگرایی سری ها:
که عبارات این سری ها همگی، عددهایی ناصفر و حقیقی یا مختلط اند. این آزمون برای اولین بار از سوی ژان لروند دالامبر معرفی شد به همین دلیل برخی آن را با نام آزمون نسبت دالامبر می شناسند. در این آزمون از حد زیر استفاده می شود:
اگر حد وجود داشته باشد، آزمون به این ترتیب نتیجه گیری می کند که:
• اگر ۱> L باشد، سری همگرای مطلق است.
• اگر ۱ < L باشد، سری واگرا است.
• اگر ۱ = L باشد یا حد موجود نباشد، آزمون بی نتیجه است. ( ممکن است سری همگرا یا واگرا باشد. )
در حالتی که حد موجود نیست، می توان با استفاده از نتیجهٔ حد بالاتری آن استفاده کرد، در نظر بگیرید که:[ ۱]
آنگاه آزمون دالامبر به صورت زیر بیان می شود:
• اگر ۱> L باشد، سری همگرای مطلق است و
• اگر نامساوی | a n + 1 a n | > 1 {\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|> 1} همواره برقرار باشد مگر در تعداد زیاد ولی قابل شمارشی از nها برقرار نباشد، سری واگرا است.
در غیر این دو حالت آزمون بی نتیجه است. توجه داشته باشید که با توجه به معیارهای همگرایی یک سری، اگر واگرایی آن بر ما روشن شد، آنگاه مقدار مطلق سری برای nهای بسیار بزرگ افزایش می یابد، پس lim a n ≠ 0 است که این خود نشانهٔ واگرایی است. نسخهٔ ضعیف تر معیار واگرایی را می توان با استفاده از حد پایین تری نشان داد:[ ۲]
• اگر ℓ = lim inf | a n + 1 a n | > 1 , {\displaystyle \ell =\lim \inf \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|> 1, } آنگاه سری واگرا است.
اگر ℓ ≤ ۱ ≤ L آزمون بی نتیجه است.
اگر در رابطهٔ ( ۱ ) حد وجود داشته باشد، مقدار آن برابر با حد بالاتری و پایین تری خواهد بود، پس می توان گفت: نسخهٔ اصلی آزمون دالامبر به عنوان حالت خاصی از معیارهای بعدی است.
سری زیر را در نظر بگیرید:
به کمک آزمون دالامبر همگرایی سری را بررسی می کنیم:
چون 1 e از ۱ کوچکتر است پس سری همگرا است.
بررسی همگرایی سری به کمک آزمون دالامبر:
چون e بزرگتر از ۱ است پس سری واگرا است.
اگر داشته باشیم:
بدست آوردن همگرایی یا واگرایی سری به کمک آزمون دالامبر ناممکن است. برای نمونه سری زیر را در نظر بگیرید: