اجتماع مجزا

اجتماع مجزا ( به انگلیسی: disjoint union ) یا اجتماع متمایز ( به انگلیسی: discriminated union ) در ریاضیات، برای یک خانواده از ( A i : i ∈ I ) از مجموعه ها برابر یک مجموعه A ( با نماد ⨆ i ∈ I A i , ) با یک تابع یک به یک برای هر A i به A است، به این روش که تصاویر این توابع یک به یک، تشکیل یک افراز از A را می دهند ( یعنی، هر عنصر از A دقیقا به یکی از این تصاویر تعلق دارند ) . اجتماع مجزا از یک خانواده از مجموعه های دوبه دو مجزا برابر اجتماع شان است. به زبان نظریه رسته ها، اجتماع مجزا برابر هم ضرب یا coproduct از رسته مجموعه ها است. از این رو اجتماع مجزا تاحدودی به صورت برابر با یک تناظر دوسویه تعریف شده است.
یک روش استاندارد برای ساخت اجتماع مجزا آن است که A را به صورت مجموعه زوج های مرتب ( x , i ) تعریف کنیم، به این شیوه که x ∈ A i , باشد و توابع یک به یک A i → A توسط x ↦ ( x , i ) برقرار باشد.
مجموعه های A 0 = { 5 , 6 , 7 } و A 1 = { 5 , 6 } را درنظر بگیرید. می توان عناصر مجموعه را براساس ریشه مجموعه اندیس ( نمایه ) کرد، این کار از طریق ساخت مجموعه های مرتبط زیر انجام می شود A 0 ∗ = { ( 5 , 0 ) , ( 6 , 0 ) , ( 7 , 0 ) } A 1 ∗ = { ( 5 , 1 ) , ( 6 , 1 ) } , که در آن عنصر دوم در هر زوج با زیرنویس مجموعه ریشه منطبق است ( برای مثال، 0 در ( 5 , 0 ) با زیرنویس A 0 , منطبق است و غیره ) . اجتماع مجزای A 0 ⊔ A 1 را به این روش می توان محاسبه نمود: A 0 ⊔ A 1 = A 0 ∗ ∪ A 1 ∗ = { ( 5 , 0 ) , ( 6 , 0 ) , ( 7 , 0 ) , ( 5 , 1 ) , ( 6 , 1 ) } . تعریف دلیل وجود دو تعریف، مربوط به جمع مستقیم داخلی و خارجی است.
یک مجموعه X اجتماع مجزای سیستم مجموعه ها می شود، ( X i ) i ∈ I از زیرمجموعه های X i ⊆ X و نوشته می شود:
وقتی شرایط زیر برقرار باشد:
• X i ∩ X j = ∅ , {\displaystyle X_{i}\cap X_{j}=\varnothing , } اگر i ≠ j {\displaystyle i\neq j} × بدین معنی است که X i {\displaystyle X_{i}} زوج مجزا هستند.
• X = ⋃ i ∈ I X i {\displaystyle \textstyle X=\bigcup \limits _{i\in I}X_{i}} ، این بدین معنی است که X {\displaystyle X} اجتماع مجموعه های X i {\displaystyle X_{i}} می باشد.