اثبات ریاضی

در ریاضیات، اثبات ریاضی ( به انگلیسی: Mathematical proof ) برهان یا اثبات، استدلالی متقاعدکننده است که نشان می دهد یک گزارهٔ ریاضی ( با توجه به استانداردهای مربوط ) ، الزاماً صحیح است. برهان، یک استدلال استنتاجی است و نه استدلالی استقرایی، به این معنا که برهان باید نشان دهد که یک گزاره در تمامی شرایط و بدون هیچ استثنایی، همواره صحیح است.
برهان ها از منطق بهره می برند، اما بیشتر اوقات مقادیری از زبان طبیعی را نیز دربر می گیرند که اکثراً باعث ایجاد ابهام می شود. در واقع، اکثر برهان ها در ریاضیات نوشتاری، می توانند به عنوان کاربردی از منطق غیر صوری به شمار آیند.
اثبات های صوری محض در نظریهٔ برهان بررسی شده اند. تمایز بین اثبات های صوری و غیر صوری به بررسی های زیادی در مورد تمرینات و ریاضیات عامّه منجر شده است.
فلسفهٔ ریاضیات با نقش زبان و منطق در برهان ها و ریاضیات به عنوان یک زبان ارتباط تنگاتنگی دارد.
صرف نظر از صوری یا غیر صوری بودن، نتیجه ای که درستی آن به اثبات رسیده است یک قضیه نامیده می شود که در یک اثبات کاملاً رسمی در خط آخر می آید و کل اثبات نشان می دهد که چگونه از اصل ها به تنهایی و به وسیلهٔ قوانین استنتاج، به دست می آید.
هنگامی که یک نظریه اثبات شد، می توان از آن به عنوان اساس و پایهٔ اثبات گزاره های بعدی استفاده کرد. یک تئوری، لم گفته می شود، هنگامی که به عنوان وسیله ای برای اثبات تئوری دیگر استفاده شود.
اصل، گزاره ای است که نیازی به اثبات ندارد یا اثبات نمی شود. اصول، مباحث اولیه مورد بررسی فلاسفه ریاضی بوده اند. امروزه، توجه بیشتر بر تمرین و تکنیک های قابل قبول است.
گزاره ای اثبات نشده که درست تلقی می شود، فرضیه نام دارد.
در برهان مستقیم، نتیجه از ترکیب منطقی اصل ها، تعریف ها و تئوری های پیشین به دست می آید. به طور مثال برهان مستقیم برای اثبات زوج بودن جمع دو عدد زوج بکار می رود:
برای هر ۲ عدد زوج صحیح x و y می توانیم بنویسیم x = 2 a و y = 2 b . اما جمع ( x + y ) = 2 a + 2 b = 2 ( a + b ) نیز طبق تعریف عددی زوج است. بنابراین جمع دو عدد زوج همواره زوج می باشد ، و همچنین برای اثبات جمع ۲ عدد فرد همواره زوج است میتوان از راه حلی مانند این راه حل استفاده کرد.
این اثبات از تعریف اعداد زوج صحیح، و همین طور قاعدهٔ توزیع استفاده می کند.