اتحاد (ریاضیات). در
ریاضیات یک اتحاد یک رابطه برابری A = B است که A و B شامل تعدادی متغیر هستند و A و B، فارغ از اینکه متغیرهایشان چه مقادیری ( معمولاً عددی ) می گیرند، مقادیر یکسانی را تولید می کنند. به عبارت دیگر A = B اتحاد است اگر A و B
توابع یکسانی را تعریف کنند. این به این معنی است که یک اتحاد، یک برابری بین توابعیست که متفاوت تعریف شده اند. برای مثال ( a + b ) ۲ = a۲ + ۲ab + b۲ و cos۲ ( x ) + sin۲ ( x ) = ۱ همانی اند. همانی ها، گاهی اوقات، بجای
علامت مساوی = توسط نماد نوار سه گانه ≡ نشان داده می شوند. [ ۱]
به لحاظ هندسی، این ها، همانی هایی شامل توابعی خاصی از یک یا چند
زاویه هستند. آن ها متمایز از اتحادهای
مثلث اند که همانی هایی شامل هم زاویه و هم ضلع یک مثلث می باشند. تنها مورد پیشین در این
مقاله پوشش داده شده است.
این همانی ها هنگامی مفید واقع می شوند که عبارات شامل
توابع مثلثاتی نیازمند ساده سازی اند. یک کاربرد مهم،
انتگرال گیری از توابع غیر توابع مثلثاتی است: روشی معمول این است که ابتدا ضابطه با یک تابع مثلثاتی
جایگزین شده و سپس، انتگرال به دست آمده با یک اتحاد مثلثاتی جایگزین شود.
یک مثال sin 2 θ + cos 2 θ ≡ 1 , برای همه مقادیر
مختلط θ ( چون اعداد مختلط C در دامنه sin و cos هستند ) صادق است؛ بر خلاف
که تنهای برای مقادیر مشخصی از θ همهٔ آنها. برای مثال معادلهٔ اخیر برای θ = 0 , درست بوده و برای θ = 2
اتحادهای زیر، برای همه مؤلفه های صحیح برقرار است، مادامی که پایه غیر صفر باشد:
توان نیست ناجابجایی است. این در تضاد با جمع و ضرب است که برای مثال، ۲ + ۳ = ۳ + ۲ = ۵ و ۲ · ۳ = ۳ · ۲ = ۶؛ اما ۲۳ = ۸ در حالی که ۳۲ = ۲.
توان، حتی
شرکت پذیر هم نیست. جمع و ضرب هستند. برای مثال ( ۲ + ۳ ) + ۴ = ۲ + ( ۳ + ۴ ) = ۹ و ( ۲ · ۳ ) · ۴ = ۲ · ( ۳ · ۴ ) = ۲۴؛ اما ۲۳ به توان ۴، برابر ۸۴ یا ۴٬۰۹۶ است، در حالی که ۲ به توان ۳۴ برابر با ۲۸۱ یا ۲٬۴۱۷٬۸۵۱٬۶۳۹٬۲۲۹٬۲۵۸٬۳۴۹٬۴۱۲٬۳۵۲ است. به طور قراردادی، بدون پرانتز، ترتیب محاسبه از بالا به پایین است و نه از پایین به بالا:
چندین فرمول مهم، که گاهی اوقات به نام اتحاد لگاریتمی یا قوانین
لگاریتم شناخته می شوند، لگاریتم ها را به یک دیگر مرتبط می سازند. [ ۲]
