روش شیب افت

روش شیب افت یکی از روش های تحلیل سازه ها برای تحلیل تیرها و قاب ها می باشد که در سال ۱۹۱۵ توسط جورج منی [ ۱] ابداع شده است. تا قبل از معرفی روش توزیع لنگر، روش شیب افت به مدت یک دهه به صورت گسترده ای برای تحلیل سازه ها مورد استفاده قرار می گرفت.
در روش شیب افت با جایگزینی معادلات شیب افت در معادلات تعادل، میزان دوران در گره های سازه به دست می آید و سپس با جایگزینی دوران های به دست آمده در معادلات شیب افت، مقدار لنگر در انتهای عضوهای سازه تعیین می شود.
معادلات شیب افت مقدار لنگر در انتهای اعضای سازه را بر حسب دوران گره های سازه بیان می کنند. معادلات شیب افت برای عضو ab به طول L a b و سختی خمشی E a b I a b به صورت زیر نوشته می شوند:
در این معادلات θ a , θ b به ترتیب نشان دهنده شیب در انتهای a و b عضو ( دوران گره های a و b ) هستند و Δ میزان تغییر مکان نسبی بین دو انتهای a و b عضو می باشد . عدم وجود سطح مقطع عضو در این معادلات بیانگر آنست که روش شیب افت از اثر تغییرشکل های محوری و برشی چشم پوشی می کند. معادلات شیب افت همچنین می توانند با استفاده از ضریب سختی K = I a b L a b و زاویه دوران عضو ψ = Δ L a b به این شکل نوشته شوند:
هنگامی که لنگرهای متمرکز M a b و M b a در جهت عقربه های ساعت در دو انتهای یک تیر به طول L a b و سختی خمشی E a b I a b وارد می شوند، دوران دو انتهای تیر نیز در همان جهت عقربه های ساعت خواهد بود. مقدار این دوران ها با استفاده از روش کار مجازی به صورت زیر محاسبه می شود:
با مرتب کردن این دو معادله، معادلات شیب افت به دست می آیند.
شرایط تعادل گره ها ایجاب می کند که لنگرهای وارد به هر گره با یک درجه آزادی باید در تعادل باشند. بنابراین:
در معادله بالا M m e m b e r لنگرهای انتهای عضو، M f لنگرهای گیرداری و M j o i n t لنگرهای خارجی وارد بر عضو هستند.
وقتی کل عضو به عنوان یک جسم صلب دوران دارد ( تغییرمکان نسبی دو انتهای عضو مخالف صفر است ) ، علاوه بر معادلات تعادل لنگر، تعادل برش نیز باید نوشته شود تا تعداد معادلات و مجهولات با هم برابر گردد.
تحلیل سازه ها به روش شیب افت شامل مراحل گام به گام زیر است:
۱ - مجهول های مسئله را تعیین کنید. دوران در تمام گره ها ( به غیر از گره های گیردار ) مجهول هستند. همچنین تغییر مکان نسبی دو سر اعضا نیز مجهول محسوب می شوند.