gaussian elimination

### **مراحل اجرای روش**
1. **تشکیل ماتریس افزوده**: ماتریس ضرایب ( $$A$$ ) و بردار ثوابت ( $$b$$ ) را به صورت یک ماتریس ترکیبی ( $$[A|b]$$ ) نوشته می شود.
2. **حذف رو به جلو ( Forward Elimination ) **:
- با عملیات سطری مقدماتی ( جابجایی سطرها، ضرب سطر در عدد غیرصفر، جمع سطرها ) ماتریس را به فرم پلکانی سطری کاهش می دهند.
- هدف: صفر کردن عناصر زیر قطر اصلی ماتریس.
3. **جایگزینی رو به عقب ( Backward Substitution ) **:
- با شروع از آخرین سطر، متغیرها را به ترتیب محاسبه و در معادلات بالاتر جایگزین می کنند.
### **کاربردها**
- حل دستگاه های معادلات خطی در مهندسی، فیزیک و علوم کامپیوتر.
- محاسبه دترمینان و معکوس ماتریس های مربعی.
### **تفاوت با روش گاوس - جردن**
- در گاوس - جردن، ماتریس به فرم **پلکانی کاهش یافته** می رسد ( همه عناصر بالای قطر اصلی نیز صفر می شوند ) ، در حالی که روش حذفی گاوس تنها به فرم پلکانی می رسد.
### **محدودیت ها**
- نیازمند آن است که عناصر قطر اصلی در مراحل اولیه صفر نباشند ( در غیر این صورت نیاز به جابجایی سطرها دارد ) .
- در ماتریس های تکینه ( غیر معکوس پذیر ) قابل اجرا نیست.
این روش به دلیل سادگی و کارایی گسترده، پایه ای برای بسیاری از الگوریتم های پیشرفته در محاسبات عددی است.