نمونه سوال آمار دانشگاهی

ChatGPT 4 | Midjourney | Claude | Suno:

برای محاسبه میانگین، میانه، مد و واریانس داده‌های ارائه‌شده، ابتدا باید اطلاعات مربوط به فراوانی مطلق را به صورت جدول درآوریم و سپس محاسبات مورد نیاز را انجام دهیم.

▎1. جدول داده‌ها

| حدود طبقات | فراوانی مطلق (f) | نقطه میانه (x) | f * x |

|------------|-------------------|----------------|-------|

| 8 - 10     | 2                 | 9              | 18    |

| 10 - 12    | 5                 | 11             | 55    |

| 12 - 14    | 9                 | 13             | 117   |

| 14 - 16    | 4                 | 15             | 60    |

| جمع    | 20            |                | 250 |

▎محاسبات

▎الف) میانگین (Mean)

میانگین به صورت زیر محاسبه می‌شود:

میانگین = ∑ (f ⋅ x) / ∑ f = 250 / 20 = 12.5

▎ب) مد (Mode)

مد برابر با طبقه‌ای است که بیشترین فراوانی را دارد. در اینجا:

• طبقه 12 تا 14 دارای بیشترین فراوانی (9) است.

بنابراین، مد = 12 تا 14.

▎ج) میانه (Median)

برای محاسبه میانه، ابتدا باید موقعیت میانه را پیدا کنیم. با توجه به جمع فراوانی (20)، موقعیت میانه برابر با:

20 / 2 = 10

حالا باید ببینیم در کدام طبقه قرار دارد. با توجه به جدول:

• طبقه 8 تا 10: فراوانی تجمعی = 2

• طبقه 10 تا 12: فراوانی تجمعی = 7 (2 + 5)

• طبقه 12 تا 14: فراوانی تجمعی = 16 (7 + 9)

از آنجا که موقعیت میانه (10) در طبقه 12 تا 14 قرار دارد، حالا باید از فرمول زیر برای پیدا کردن میانه استفاده کنیم:

میانه = L + (( / 2 - F}f )) ⋅ c

که در آن:

•  L  = حد پایین طبقه میانه = 12

•  N  = جمع کل فراوانی = 20

•  F  = فراوانی تجمعی قبل از طبقه میانه = 7

•  f  = فراوانی طبقه میانه = 9

•  c  = عرض طبقه = 2

محاسبه میانه:

میانه = 12 + (( 10 - 7 / 9 )) ⋅ 2 = 12 + (( 3 / 9 )) ⋅ 2 ≈ 12 + 0.67 ≈ 12.67

▎د) واریانس (Variance)

برای محاسبه واریانس، ابتدا باید  x²  را محاسبه کنیم و سپس از فرمول زیر استفاده کنیم:

σ² = ∑ f(x²) / N - (( ∑ fx / N ))²

محاسبه  x² :

| حدود طبقات | نقطه میانه (x) |  x²  |  f * x²  |

|------------|----------------|-----------|----------------|

| 8 - 10     | 9              | 81        | 162            |

| 10 - 12    | 11             | 121       | 605            |

| 12 - 14    | 13             | 169       | 1521           |

| 14 - 16    | 15             | 225       | 900            |

| جمع    |                |           | 3188       |

محاسبه واریانس:

σ² = 3188 / 20 - (( 250 / 20 ))² = 159.4 - (12.5)² = 159.4 - 156.25 = 3.15

▎خلاصه نتایج

• میانگین: 12.5

• مد: 12 تا 14

• میانه: 12.67

• واریانس: 3.15

برای محاسبه سرعت متوسط ماشین تراشی، ابتدا باید کل مسافت طی شده و زمان کل کارکرد را محاسبه کنیم. سرعت متوسط به صورت زیر محاسبه می‌شود:

سرعت متوسط = کل مسافت / زمان ک}

▎مرحله 1: محاسبه مسافت طی شده در هر بخش

1. بخش اول:

   • زمان:  t₁ = 30  ثانیه

   • سرعت:  v₁ = 10  دور بر ثانیه

   • مسافت:

d₁ = v₁ × t₁ = 10دور بر ثانیه × 30ثانیه = 300دور

2. بخش دوم:

   • زمان:  t₂ = 20  ثانیه

   • سرعت:  v₂ = 8  دور بر ثانیه

   • مسافت:

d₂ = v₂ × t₂ = 8دور بر ثانیه × 20ثانیه = 160دور

3. بخش سوم:

   • زمان:  t₃ = 40  ثانیه

   • سرعت:  v₃ = 11  دور بر ثانیه

   • مسافت:

d₃ = v₃ × t₃ = 11دور بر ثانیه × 40ثانیه = 440دور

▎مرحله 2: محاسبه کل مسافت و زمان

• کل مسافت:

کل مسافت = d₁ + d₂ + d₃ = 300 + 160 + 440 = 900دور

• زمان کل:

زمان کل = t₁ + t₂ + t₃ = 30 + 20 + 40 = 90ثانیه

▎مرحله 3: محاسبه سرعت متوسط

اکنون می‌توانیم سرعت متوسط را محاسبه کنیم:

سرعت متوسط = کل مسافت / زمان ک} = 900 دور / 90 ثانی} = 10دور بر ثانیه

▎نتیجه نهایی

سرعت متوسط ماشین تراشی برابر است با 10 دور بر ثانیه.

برای حل این مسئله، از ترکیب‌ها و احتمالات استفاده می‌کنیم. 

▎الف) هیچ زنی در شورا وجود نخواهد داشت

برای اینکه هیچ زنی در شورا وجود نداشته باشد، باید تمام اعضای شورا از مردان انتخاب شوند. از آنجا که ما 6 مرد داریم، تعداد راه‌های انتخاب 5 مرد از 6 مرد به صورت زیر است:

C(n, k) = n! / k!(n-k)!

که در آن  C(n, k)  تعداد ترکیب‌ها برای انتخاب  k  عنصر از  n  عنصر است.

▎محاسبه تعداد راه‌های انتخاب 5 مرد از 6 مرد:

C(6, 5) = 6! / 5!(6-5)! = 6! / 5! ⋅ 1! = 6

▎محاسبه تعداد کل راه‌های انتخاب 5 نفر از 10 نفر (6 مرد و 4 زن):

C(10, 5) = 10! / 5!(10-5)! = 10! / 5! ⋅ 5! = 252

▎محاسبه احتمال:

احتمال اینکه هیچ زنی در شورا وجود نداشته باشد:

P(هیچ زن) = C(6, 5) / C(10, 5) = 6 / 252 = 1 / 42

▎ب) حداقل ۴ مرد در شورا وجود خواهند داشت

برای این حالت، دو حالت ممکن است:

1. 4 مرد و 1 زن

2. 5 مرد

▎حالت اول: 4 مرد و 1 زن

تعداد راه‌های انتخاب 4 مرد از 6 مرد و 1 زن از 4 زن:

C(6, 4) × C(4, 1)

محاسبه:

C(6, 4) = 6! / 4! ⋅ 2! = 15

C(4, 1) = 4! / 1! ⋅ 3! = 4

بنابراین:

تعداد راه‌ها = C(6, 4) × C(4, 1) = 15 × 4 = 60

▎حالت دوم: 5 مرد

تعداد راه‌های انتخاب 5 مرد از 6 مرد:

C(6, 5) = 6

▎جمع دو حالت:

تعداد کل راه‌ها برای حداقل 4 مرد:

کل راه‌ها = 60 + 6 = 66

▎محاسبه احتمال:

احتمال اینکه حداقل 4 مرد در شورا وجود داشته باشد:

P(حداقل 4 مرد) = 66 / 252 = 11 / 42

▎نتیجه‌گیری

الف) احتمال اینکه هیچ زنی در شورا وجود نداشته باشد:  1/42 

ب) احتمال اینکه حداقل 4 مرد در شورا وجود داشته باشد:  11/42

برای حل این مسئله، از قانون احتمال شرطی و فرمول بیز استفاده می‌کنیم.

▎الف) احتمال اینکه ماده اولیه غیر استاندارد باشد

برای محاسبه این احتمال، ابتدا باید احتمال‌های مربوط به هر فروشنده و درصد مواد غیر استاندارد را مشخص کنیم.

• احتمال خرید از فروشنده 1:  P(S₁) = 0.46 

• احتمال خرید از فروشنده 2:  P(S₂) = 1 - P(S₁) = 0.54 

• احتمال غیر استاندارد بودن مواد از فروشنده 1:  P(U|S₁) = 0.08 

• احتمال غیر استاندارد بودن مواد از فروشنده 2:  P(U|S₂) = 0.05 

حالا می‌توانیم از قانون کل احتمال برای محاسبه احتمال اینکه ماده اولیه غیر استاندارد باشد، استفاده کنیم:

P(U) = P(U|S₁) ⋅ P(S₁) + P(U|S₂) ⋅ P(S₂)

محاسبه:

P(U) = (0.08 ⋅ 0.46) + (0.05 ⋅ 0.54)

P(U) = 0.0368 + 0.027 = 0.0638

پس احتمال اینکه ماده اولیه غیر استاندارد باشد:

P(U) ≈ 0.0638

▎ب) اگر غیر استاندارد باشد با چه احتمالی از فروشنده ۲ خریده شده است؟

برای محاسبه این احتمال، از فرمول بیز استفاده می‌کنیم:

P(S₂|U) = P(U|S₂) ⋅ P(S₂) / P(U)

حالا مقادیر را جایگذاری می‌کنیم:

P(S₂|U) = P(U|S₂) ⋅ P(S₂) / P(U) = 0.05 ⋅ 0.54 / 0.0638

P(S₂|U) = 0.027 / 0.0638 ≈ 0.423

پس اگر ماده اولیه غیر استاندارد باشد، احتمال اینکه از فروشنده 2 خریداری شده باشد:

P(S₂|U) ≈ 0.423

▎نتیجه‌گیری

الف) احتمال اینکه ماده اولیه غیر استاندارد باشد:  ≈ 0.0638 

ب) اگر غیر استاندارد باشد، احتمال اینکه از فروشنده ۲ خریداری شده باشد:  ≈ 0.423

برای حل این مسئله از توزیع پواسون استفاده می‌کنیم. توزیع پواسون به ما این امکان را می‌دهد تا احتمال وقوع یک تعداد معین از رویدادها را در یک بازه زمانی معین، با توجه به میانگین وقوع آن رویدادها محاسبه کنیم.

▎الف) احتمال وقوع یک تصادف از ساعت ۶ الی ۱۲

در این بازه زمانی (از ساعت ۶ الی ۱۲)، مدت زمان ۶ ساعت است. با توجه به اینکه میانگین وقوع تصادف‌ها ۱ تصادف در ۶ ساعت است، می‌توانیم بگوییم:

•  λ = 1  (میانگین وقوع تصادف در ۶ ساعت)

فرمول احتمال وقوع  k  رویداد در توزیع پواسون به صورت زیر است:

P(X = k) = λᵏ e⁽-λ) / k!

برای محاسبه احتمال وقوع یک تصادف ( k = 1 ):

P(X = 1) = 1¹ e⁻¹ / 1! = 1 ⋅ e⁻¹ / 1 = e⁻¹

محاسبه مقدار  e⁻¹ :

P(X = 1) ≈ 1 / 2.718 ≈ 0.3679

پس احتمال اینکه از ساعت ۶ الی ۱۲ یک تصادف رخ دهد:

P(X = 1) ≈ 0.3679

▎ب) احتمال وقوع حداقل دو تصادف از ساعت ۱۲ الی ۲۴

در این بازه زمانی (از ساعت ۱۲ الی ۲۴)، مدت زمان ۱۲ ساعت است. با توجه به اینکه میانگین وقوع تصادف‌ها ۱ تصادف در ۶ ساعت است، برای ۱۲ ساعت خواهیم داشت:

•  λ = 2  (میانگین وقوع تصادف در ۱۲ ساعت)

ما باید احتمال وقوع حداقل دو تصادف ( k ≥ 2 ) را محاسبه کنیم. این احتمال را می‌توان با استفاده از مکمل آن محاسبه کرد:

P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))

حالا ابتدا  P(X = 0)  و  P(X = 1)  را محاسبه می‌کنیم.

1. برای  P(X = 0) :

P(X = 0) = 2⁰ e⁻² / 0! = e⁻²

2. برای  P(X = 1) :

P(X = 1) = 2¹ e⁻² / 1! = 2e⁻²

حالا مقدار  P(X < 2) :

P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = e⁻² + 2e⁻² = 3e⁻²

بنابراین:

P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 3e⁻²

محاسبه مقدار  e⁻² :

e⁻² ≈ 1 / 7.389 ≈ 0.1353

بنابراین:

P(X < 2) ≈ 3 ⋅ 0.1353 ≈ 0.406

و در نهایت:

P(X ≥ 2) ≈ 1 - 0.406 ≈ 0.594

▎نتیجه‌گیری

الف) احتمال اینکه از ساعت ۶ الی ۱۲ یک تصادف رخ دهد:  ≈ 0.3679 

ب) احتمال اینکه از ساعت ۱۲ الی ۲۴ حداقل دو تصادف رخ دهد:  ≈ 0.594

برای محاسبه مقادیر مورد نظر، ابتدا باید جدول توزیع متغیر تصادفی X را کامل کنیم. از آنجایی که مجموع احتمال‌ها در یک توزیع باید برابر با ۱ باشد، می‌توانیم مقدار k را محاسبه کنیم.

▎مرحله ۱: محاسبه مقدار k

ما داریم:

P(X = -1) = 0.18

P(X = 1) = k

P(X = 2) = 0.12

P(X = 3) = 0.20

جمع احتمال‌ها باید برابر با ۱ باشد:

0.18 + k + 0.12 + 0.20 = 1

بنابراین:

0.50 + k = 1

از اینجا می‌توانیم مقدار k را محاسبه کنیم:

k = 1 - 0.50 = 0.50

▎مرحله ۲: جدول توزیع کامل

حالا جدول توزیع کامل به صورت زیر است:

| X | f(X) |

|-------|----------|

| -1    | 0.18     |

| 1     | 0.50     |

| 2     | 0.12     |

| 3     | 0.20     |

▎مرحله ۳: محاسبه E(X)

برای محاسبه امید ریاضی E(X)، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

E(X) = ∑ (xᵢ ⋅ f(xᵢ))

محاسبات به صورت زیر است:

E(X) = (-1) ⋅ 0.18 + (1) ⋅ 0.50 + (2) ⋅ 0.12 + (3) ⋅ 0.20

محاسبه هر کدام:

E(X) = -0.18 + 0.50 + 0.24 + 0.60

E(X) = -0.18 + 0.50 + 0.24 + 0.60 = 1.16

▎مرحله ۴: محاسبه Var(X)

برای محاسبه واریانس Var(X)، ابتدا نیاز به محاسبه E(X²) داریم:

E(X²) = ∑ (xᵢ² ⋅ f(xᵢ))

محاسبات به صورت زیر است:

E(X²) = (-1)² ⋅ 0.18 + (1)² ⋅ 0.50 + (2)² ⋅ 0.12 + (3)² ⋅ 0.20

محاسبه هر کدام:

E(X²) = 1 ⋅ 0.18 + 1 ⋅ 0.50 + 4 ⋅ 0.12 + 9 ⋅ 0.20

E(X²) = 0.18 + 0.50 + 0.48 + 1.80

E(X²) = 3.96

حالا واریانس را با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌کنیم:

Var(X) = E(X²) - (E(X))²

محاسبات به صورت زیر است:

Var(X) = 3.96 - (1.16)²

Var(X) = 3.96 - 1.3456

Var(X) = 2.6144

▎مرحله نهایی: جمع‌بندی

• مقدار k = 0.50

• مقدار E(X) ≈ 1.16

• مقدار Var(X) ≈ 2.6144

• احتمال P(X < 1):

برای محاسبه P(X < 1):

P(X < 1) = P(X = -1) = f(-1) = 0.18

▎نتیجه‌گیری

• k = 0.50

• E(X) ≈ 1.16

• Var(X) ≈ 2.6144

• P(X < 1) = 0.18

برای حل این مسائل، از توزیع نرمال استفاده می‌کنیم. با توجه به اطلاعات داده شده، توزیع وزن بسته‌های حبوبات به صورت نرمال با میانگین μ = 900 گرم و انحراف معیار σ = 15 گرم است.

▎الف) محاسبه درصد بسته‌ها بین ۸۹۰ و ۹۱۸ گرم

برای محاسبه درصد بسته‌ها در این بازه، ابتدا باید مقادیر Z را برای دو نقطه محاسبه کنیم.

فرمول محاسبه Z به صورت زیر است:

Z = X - μ / σ

▎۱. محاسبه Z برای ۸۹۰ گرم:

Z₈₉₀ = 890 - 900 / 15 = -10 / 15 = -0.6667

▎۲. محاسبه Z برای ۹۱۸ گرم:

Z₉₁₈ = 918 - 900 / 15 = 18 / 15 = 1.2

▎۳. استفاده از جدول توزیع نرمال

حالا باید از جدول توزیع نرمال استاندارد (یا ماشین حساب‌های آماری) استفاده کنیم تا مقادیر احتمال را پیدا کنیم.

• برای Z₈₉₀ = -0.6667، احتمال P(Z < -0.6667) ≈ 0.2525 (با استفاده از جدول یا ماشین حساب)

• برای Z₉₁₈ = 1.2، احتمال P(Z < 1.2) ≈ 0.8849

▎۴. محاسبه درصد بسته‌ها بین ۸۹۰ و ۹۱۸ گرم

حالا می‌توانیم درصد بسته‌ها بین این دو وزن را محاسبه کنیم:

P(890 < X < 918) = P(Z < 1.2) - P(Z < -0.6667)

P(890 < X < 918) ≈ 0.8849 - 0.2525 = 0.6324

بنابراین، تقریباً 63.24% از بسته‌ها بین 890 و 918 گرم وزن دارند.

▎ب) وزن ۹۰ درصد بسته‌ها از چه مقداری کمتر است؟

برای پیدا کردن وزنی که 90% از بسته‌ها کمتر از آن هستند، باید مقدار Z مربوط به 90% را پیدا کنیم.

از جدول توزیع نرمال، مقدار Z برای 90% برابر است با تقریباً 1.2816.

حالا می‌توانیم وزن مربوطه را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کنیم:

X = μ + Z ⋅ σ

جایگذاری مقادیر:

X = 900 + (1.2816 ⋅ 15)

X ≈ 900 + 19.224 = 919.224

بنابراین، وزن 90% از بسته‌ها کمتر از 919.22 گرم است.

▎نتیجه‌گیری

• الف) حدود 63.24% از بسته‌ها بین 890 و 918 گرم وزن دارند.

• ب) وزن 90% از بسته‌ها کمتر از حدود 919.22 گرم است.

پاسخ به سوالات آماری

سوال 1

تفسیر جدول:

این جدول نشان می‌دهد که در بازه‌های زمانی مختلف، تعداد وقوع یک رویداد خاص (که مشخص نشده است) چند بار اتفاق افتاده است.

سوالات و پاسخ‌های احتمالی:

 * رویداد مورد نظر چیست؟ بدون دانستن اینکه این رویداد چه چیزی است، نمی‌توانیم تحلیل دقیق‌تری ارائه دهیم. این رویداد می‌تواند هر چیزی از تعداد تماس‌های دریافتی تا تعداد دفعات وقوع یک حادثه خاص باشد.

 * چه نتیجه‌ای می‌توان از این جدول گرفت؟ می‌توانیم بگوییم که در بازه زمانی 17-18 بیشترین تعداد وقوع رویداد را داشته‌ایم و در بازه 15-16 کمترین تعداد وقوع را.

سوال 2

تفسیر سوال:

این سوال درباره احتمال وقوع یک رویداد خاص در دو شرایط مختلف است.

پاسخ احتمالی:

برای پاسخ به این سوال، نیاز به اطلاعات بیشتری درباره رویداد، شرایط و احتمال اولیه وقوع آن داریم. با داشتن این اطلاعات، می‌توان از قوانین احتمال برای محاسبه احتمال مورد نظر استفاده کرد.

سوال 3

تفسیر سوال:

این سوال درباره احتمال وقوع چند رویداد همزمان است.

پاسخ احتمالی:

برای پاسخ به این سوال، باید از قوانین احتمال، به ویژه قانون ضرب احتمال‌ها استفاده کنیم. اگر رویدادها مستقل باشند، احتمال وقوع همزمان آن‌ها برابر با ضرب احتمال وقوع هر یک از آن‌ها است.

سوال 4

تفسیر سوال:

این سوال درباره محاسبه امید ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی است.

پاسخ احتمالی:

برای محاسبه امید ریاضی (E(X))، باید هر مقدار ممکن برای X را در احتمال وقوع آن ضرب کرده و سپس همه این حاصلضرب‌ها را با هم جمع کنیم. برای محاسبه واریانس (Var(X)) نیز از فرمول واریانس استفاده می‌کنیم.

سوال 5

تفسیر سوال:

این سوال درباره محاسبه احتمال شرطی است.

پاسخ احتمالی:

برای محاسبه احتمال شرطی، باید از فرمول احتمال شرطی استفاده کنیم. احتمال شرطی وقوع رویداد A به شرط وقوع رویداد B برابر است با احتمال وقوع همزمان A و B تقسیم بر احتمال وقوع B.

سوال 6

تفسیر سوال:

این سوال درباره توزیع نرمال و محاسبه احتمال در یک بازه خاص است.

پاسخ احتمالی:

برای پاسخ به این سوال، باید از جدول توزیع نرمال استاندارد استفاده کنیم. ابتدا باید متغیر تصادفی را استانداردسازی کرده و سپس با استفاده از جدول، احتمال مربوط به بازه مورد نظر را پیدا کنیم.

سوال 7

تفسیر سوال:

این سوال درباره توزیع نمایی و محاسبه احتمال است.

پاسخ احتمالی:

برای پاسخ به این سوال، باید از تابع چگالی احتمال توزیع نمایی استفاده کنیم و سپس انتگرال این تابع را در بازه مورد نظر محاسبه کنیم.

نکات مهم:

 * اطلاعات ناکافی: برای ارائه پاسخ‌های دقیق‌تر، نیاز به اطلاعات بیشتری درباره رویدادها، متغیرهای تصادفی، توزیع‌ها و پارامترهای آن‌ها داریم.

 * استفاده از نرم‌افزار: برای محاسبات پیچیده، می‌توان از نرم‌افزارهای آماری مانند SPSS، SAS یا R استفاده کرد.

 * تفسیر نتایج: پس از انجام محاسبات، باید نتایج را تفسیر کرده و نتیجه‌گیری مناسب ارائه دهیم.

لطفا سوالات خود را با جزئیات بیشتری مطرح کنید تا بتوانم پاسخ‌های دقیق‌تری ارائه دهم.

موارد زیر را در هنگام طرح سوالات در نظر داشته باشید:

 * تعریف دقیق رویدادها و متغیرهای تصادفی

 * توزیع احتمال هر متغیر تصادفی

 * پارامترهای هر توزیع (مانند میانگین و واریانس)

 * سوالات خاص و دقیق

با تشکر از توجه شما.

سوال ۲ میشه ۱۰ دور بر ثانیه