نمونه سوال امتحان آمار

الف)میانگین برابر است با مجموع میانگین هر طبقه*تکرار آن طبقه تقسیم  بر تعداد کل طبقات:

(8+10)/2 *  2 + (10+12)/2 * 5 + (12+14)/2 * 9 + (14+16)/2 * 4 = 12.5

ب) مد برابر  است با داده‌ای که بیش‌ترین تکرار (فراوانی) را دارد:

 طبقه 12 تا 14 دارای بیشترین فراوانی است.

ج)برای محاسبه میانه، ابتدا باید موقعیت میانه را پیدا کنیم. با توجه به جمع فراوانی (20)، موقعیت میانه برابر با:

20 / 2 = 10

حالا باید ببینیم در کدام طبقه قرار دارد. با توجه به جدول:

• طبقه 8 تا 10: فراوانی تجمعی = 2

• طبقه 10 تا 12: فراوانی تجمعی = 7 (2 + 5)

• طبقه 12 تا 14: فراوانی تجمعی = 16 (7 + 9)

از آنجا که موقعیت میانه (10) در طبقه 12 تا 14 قرار دارد، حالا باید از فرمول زیر برای پیدا کردن میانه استفاده کنیم:

میانه = L + (( / 2 - F}f )) ⋅ c

که در آن:

•  L  = حد پایین طبقه میانه = 12

•  N  = جمع کل فراوانی = 20

•  F  = فراوانی تجمعی قبل از طبقه میانه = 7

•  f  = فراوانی طبقه میانه = 9

•  c  = عرض طبقه = 2

محاسبه میانه:

میانه = 12 + (( 10 - 7 / 9 )) ⋅ 2 = 12 + (( 3 / 9 )) ⋅ 2 ≈ 12 + 0.67 ≈ 12.67

د) برای محاسبه واریانس، ابتدا باید  x²  را محاسبه کنیم و سپس از فرمول زیر استفاده کنیم:

σ² = ∑ f(x²) / N - (( ∑ fx / N ))²

محاسبه واریانس:

σ² = 3188 / 20 - (( 250 / 20 ))² = 159.4 - (12.5)² = 159.4 - 156.25 = 3.15

سوال ۲)

سرعت متوسط = کل مسافت / زمان کل

   زمان:  t₁ = 30  ثانیه

  سرعت:  v₁ = 10  دور بر ثانیه

   مسافت:

d₁ = v₁ × t₁ = 10دور بر ثانیه × 30ثانیه = 300دور

   زمان:  t₂ = 20  ثانیه

   سرعت:  v₂ = 8  دور بر ثانیه

   مسافت:

d₂ = v₂ × t₂ = 8دور بر ثانیه × 20ثانیه = 160دور

   زمان:  t₃ = 40  ثانیه

   سرعت:  v₃ = 11  دور بر ثانیه

   مسافت:

d₃ = v₃ × t₃ = 11دور بر ثانیه × 40ثانیه = 440دور

کل مسافت = d₁ + d₂ + d₃ = 300 + 160 + 440 = 900دور

زمان کل = t₁ + t₂ + t₃ = 30 + 20 + 40 = 90ثانیه

اکنون می‌توانیم سرعت متوسط را محاسبه کنیم:

سرعت متوسط = کل مسافت / زمان کل = 900 دور / 90 ثانیه = 10دور بر ثانیه

در نتیجه سرعت متوسط ماشین تراشی برابر است با 10 دور بر ثانیه.

برای حل این مسئله، از ترکیبیات و احتمالات استفاده می‌کنیم. 
*  C(n, k)  تعداد حالات انتخاب  k  عنصر از  n  عنصر است.

الف) هیچ زنی در شورا وجود نخواهد داشت:

برای اینکه هیچ زنی در شورا وجود نداشته باشد، باید تمام اعضای شورا از مردان انتخاب شوند. از آنجا که ما 6 مرد داریم، تعداد راه‌های انتخاب 5 مرد از 6 مرد به صورت زیر است:

C(n, k) = n! / k!(n-k)!

محاسبه تعداد راه‌های انتخاب 5 مرد از 6 مرد:

C(6, 5) = 6! / 5!(6-5)! = 6! / 5! ⋅ 1! = 6

محاسبه تعداد کل راه‌های انتخاب 5 نفر از 10 نفر (6 مرد و 4 زن):

C(10, 5) = 10! / 5!(10-5)! = 10! / 5! ⋅ 5! = 252

محاسبه احتمال:

احتمال اینکه هیچ زنی در شورا وجود نداشته باشد:

ب) حداقل ۴ مرد در شورا وجود خواهند داشت

برای این حالت، دو حالت ممکن است:

1. 4 مرد و 1 زن

2. 5 مرد

حالت اول: 4 مرد و 1 زن

تعداد راه‌های انتخاب 4 مرد از 6 مرد و 1 زن از 4 زن:

C(6, 4) × C(4, 1)

محاسبه:

C(6, 4) = 6! / 4! ⋅ 2! = 15

C(4, 1) = 4! / 1! ⋅ 3! = 4

بنابراین:

تعداد راه‌ها = C(6, 4) × C(4, 1) = 15 × 4 = 60

حالت دوم: 5 مرد

تعداد راه‌های انتخاب 5 مرد از 6 مرد:

C(6, 5) = 6

بنابراین احتمال اینکه حداقل 4 مرد در شورا وجود داشته باشد:

برای حل این مسئله، از قانون احتمال شرطی و فرمول بیز استفاده می‌کنیم.

الف) احتمال اینکه ماده اولیه غیر استاندارد باشد:

برای محاسبه این احتمال، ابتدا باید احتمال‌های مربوط به هر فروشنده و درصد مواد غیر استاندارد را مشخص کنیم.

• احتمال خرید از فروشنده 1:  P(S₁) = 0.46 

• احتمال خرید از فروشنده 2:  P(S₂) = 1 - P(S₁) = 0.54 

• احتمال غیر استاندارد بودن مواد از فروشنده 1:  P(U|S₁) = 0.08 

• احتمال غیر استاندارد بودن مواد از فروشنده 2:  P(U|S₂) = 0.05 

حالا می‌توانیم از قانون کل احتمال برای محاسبه احتمال اینکه ماده اولیه غیر استاندارد باشد، استفاده کنیم:

P(U) = P(U|S₁) ⋅ P(S₁) + P(U|S₂) ⋅ P(S₂)

محاسبه:

P(U) = (0.08 ⋅ 0.46) + (0.05 ⋅ 0.54)

P(U) = 0.0368 + 0.027 = 0.0638

بنابراین  احتمال اینکه ماده اولیه غیر استاندارد باشد:

ب) اگر غیر استاندارد باشد با چه احتمالی از فروشنده ۲ خریده شده است؟

برای محاسبه این احتمال، از فرمول بیز استفاده می‌کنیم:

P(S₂|U) = P(U|S₂) ⋅ P(S₂) / P(U)

حالا مقادیر را جایگذاری می‌کنیم:

P(S₂|U) = P(U|S₂) ⋅ P(S₂) / P(U) = 0.05 ⋅ 0.54 / 0.0638

P(S₂|U) = 0.027 / 0.0638 ≈ 0.423

پس اگر ماده اولیه غیر استاندارد باشد، احتمال اینکه از فروشنده 2 خریداری شده باشد:

برای حل این مسئله از توزیع پواسون استفاده می‌کنیم. توزیع پواسون به ما این امکان را می‌دهد تا احتمال وقوع یک تعداد معین از رویدادها را در یک بازه زمانی معین، با توجه به میانگین وقوع آن رویدادها محاسبه کنیم.

الف) احتمال وقوع یک تصادف از ساعت ۶ الی ۱۲

در این بازه زمانی (از ساعت ۶ الی ۱۲)، مدت زمان ۶ ساعت است. با توجه به اینکه میانگین وقوع تصادف‌ها ۱ تصادف در ۶ ساعت است، می‌توانیم بگوییم:

•  λ = 1  (میانگین وقوع تصادف در ۶ ساعت)

فرمول احتمال وقوع  k  رویداد در توزیع پواسون به صورت زیر است:

P(X = k) = λᵏ e⁽-λ) / k!

برای محاسبه احتمال وقوع یک تصادف ( k = 1 ):

P(X = 1) = 1¹ e⁻¹ / 1! = 1 ⋅ e⁻¹ / 1 = e⁻¹

محاسبه مقدار  e⁻¹ :

P(X = 1) ≈ 1 / 2.718 ≈ 0.3679

پس احتمال اینکه از ساعت ۶ الی ۱۲ یک تصادف رخ دهد:

ب) احتمال وقوع حداقل دو تصادف از ساعت ۱۲ الی ۲۴

در این بازه زمانی (از ساعت ۱۲ الی ۲۴)، مدت زمان ۱۲ ساعت است. با توجه به اینکه میانگین وقوع تصادف‌ها ۱ تصادف در ۶ ساعت است، برای ۱۲ ساعت خواهیم داشت:

•  λ = 2  (میانگین وقوع تصادف در ۱۲ ساعت)

ما باید احتمال وقوع حداقل دو تصادف ( k ≥ 2 ) را محاسبه کنیم. این احتمال را می‌توان با استفاده از مکمل آن محاسبه کرد:

P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))

حالا ابتدا  P(X = 0)  و  P(X = 1)  را محاسبه می‌کنیم.

1. برای  P(X = 0) :

P(X = 0) = 2⁰ e⁻² / 0! = e⁻²

2. برای  P(X = 1) :

P(X = 1) = 2¹ e⁻² / 1! = 2e⁻²

حالا مقدار  P(X < 2) :

P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = e⁻² + 2e⁻² = 3e⁻²

بنابراین:

P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 3e⁻²

محاسبه مقدار  e⁻² :

e⁻² ≈ 1 / 7.389 ≈ 0.1353

بنابراین:

P(X < 2) ≈ 3 ⋅ 0.1353 ≈ 0.406

در نتیجه:

برای محاسبه مقادیر مورد نظر، ابتدا باید جدول توزیع متغیر تصادفی X را کامل کنیم. از آنجایی که مجموع احتمال‌ها در یک توزیع باید برابر با ۱ باشد، می‌توانیم مقدار k را محاسبه کنیم:

P(X = -1) = 0.18

P(X = 1) = k

P(X = 2) = 0.12

P(X = 3) = 0.20

جمع احتمال‌ها باید برابر با ۱ باشد:

0.18 + k + 0.12 + 0.20 = 1

بنابراین:

0.50 + k = 1

از اینجا می‌توانیم مقدار k را محاسبه کنیم:

k = 1 - 0.50 = 0.50

حالا جدول توزیع  به صورت زیر است:

| X | f(X) |

|-------|----------|

| -1    | 0.18     |

| 1     | 0.50     |

| 2     | 0.12     |

| 3     | 0.20     |

برای محاسبه امید ریاضی E(X)، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

E(X) = ∑ (xᵢ ⋅ f(xᵢ))

محاسبات به صورت زیر است:

E(X) = (-1) ⋅ 0.18 + (1) ⋅ 0.50 + (2) ⋅ 0.12 + (3) ⋅ 0.20

محاسبه هر کدام:

E(X) = -0.18 + 0.50 + 0.24 + 0.60

E(X) = -0.18 + 0.50 + 0.24 + 0.60 = 1.16

برای محاسبه واریانس Var(X)، ابتدا نیاز به محاسبه E(X²) داریم:

E(X²) = ∑ (xᵢ² ⋅ f(xᵢ))

محاسبات به صورت زیر است:

E(X²) = (-1)² ⋅ 0.18 + (1)² ⋅ 0.50 + (2)² ⋅ 0.12 + (3)² ⋅ 0.20

محاسبه هر کدام:

E(X²) = 1 ⋅ 0.18 + 1 ⋅ 0.50 + 4 ⋅ 0.12 + 9 ⋅ 0.20

E(X²) = 0.18 + 0.50 + 0.48 + 1.80

E(X²) = 3.96

حالا واریانس را با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌کنیم:

Var(X) = E(X²) - (E(X))²

محاسبات به صورت زیر است:

Var(X) = 3.96 - (1.16)²

Var(X) = 3.96 - 1.3456

برای محاسبه P(X < 1):

P(X < 1) = P(X = -1) = f(-1) = 0.18

برای حل این مسائل، از توزیع نرمال استفاده می‌کنیم. با توجه به اطلاعات داده شده، توزیع وزن بسته‌های حبوبات به صورت نرمال با میانگین μ = 900 گرم و انحراف معیار σ = 15 گرم است.

الف) محاسبه درصد بسته‌ها بین ۸۹۰ و ۹۱۸ گرم:

برای محاسبه درصد بسته‌ها در این بازه، ابتدا باید مقادیر Z را برای دو نقطه محاسبه کنیم.

فرمول محاسبه Z به صورت زیر است:

Z = X - μ / σ

 محاسبه Z برای ۸۹۰ گرم:

Z₈₉₀ = 890 - 900 / 15 = -10 / 15 = -0.6667

 محاسبه Z برای ۹۱۸ گرم:

Z₉₁₈ = 918 - 900 / 15 = 18 / 15 = 1.2

 استفاده از جدول توزیع نرمال

حالا باید از جدول توزیع نرمال استاندارد  استفاده کنیم تا مقادیر احتمال را پیدا کنیم.

• برای Z₈₉₀ = -0.6667، احتمال P(Z < -0.6667) ≈ 0.2525 (با استفاده از جدول)

• برای Z₉₁₈ = 1.2، احتمال P(Z < 1.2) ≈ 0.8849

 محاسبه درصد بسته‌ها بین ۸۹۰ و ۹۱۸ گرم:

حالا می‌توانیم درصد بسته‌ها بین این دو وزن را محاسبه کنیم:

P(890 < X < 918) = P(Z < 1.2) - P(Z < -0.6667)

P(890 < X < 918) ≈ 0.8849 - 0.2525 = 0.6324

ب) وزن ۹۰ درصد بسته‌ها از چه مقداری کمتر است؟

برای پیدا کردن وزنی که 90% از بسته‌ها کمتر از آن هستند، باید مقدار Z مربوط به 90% را پیدا کنیم.

از جدول توزیع نرمال، مقدار Z برای 90% برابر است با تقریباً 1.2816.

حالا می‌توانیم وزن مربوطه را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کنیم:

X = μ + Z ⋅ σ

جایگذاری مقادیر:

X = 900 + (1.2816 ⋅ 15)

X ≈ 900 + 19.224 = 919.224