سرگرمی های ریاضی

درود و وقت به خیر 
طبیعتاً این حدس که «هر چه شمع پایین‌تر باشد، روشنایی بیشتری به سکه می‌رسد» درست نیست؛ زیرا دو عامل مهم در کار هستند:

1. زاویه تابش و قانون کسینوس:
  وقتی شمع خیلی نزدیک باشد، سکه دیده می‌شود که نور از قسمت‌های اطراف شمع با زوایای بسیار شیبدار وارد می‌شود. طبق قانون کسینوس، مؤثربودن نور وارده (بر هر سطح) تابع مقدار cos(θ) است؛ یعنی هر چه زاویه‌ی ورود نور از قائم بزرگتر شود، سهم مؤثر آن در روشنایی سطح کمتر می‌شود.

2. قانون معکوس مربع:
  از سوی دیگر، اگر شمع خیلی دور از سکه باشد، هرچند که نور به‌طور منظم و تقریباً قائم به سطح وارد می‌شود (کسینوس نزدیک به یک)، اما کل نور وارده به دلیل افت 1/h² به شدت کاهش می‌یابد.

این دو عامل در تناوب با یکدیگر عمل می‌کنند. اگر شمع بیش از حد پایین بیاوریم، اثر کاهش cos(θ) در نواحی اطراف (خصوصاً لبه‌های سکه) باعث می‌شود که روشنایی متوسط سطح سکه از بیشینه عقب بماند؛ و اگر آن را بیش از حد بالا ببریم، کاهش کلی نور به‌دلیل افت معکوس مربع، روشنایی را کم می‌کند.
حالا
با فرض اینکه شعله شمع، که به‌عنوان یک منبع نوری دایره‌ای و یکنواخت مدل‌سازی می‌شود، اندازه مشخصی دارد و سکه هم دایره‌ای است؛ 
روشنایی متوسط سکه زمانی به بیشترین مقدار می‌رسد که فاصله عمودی بین شعله و سطح میز تقریباً به اندازه شعاع سکه باشد. 
به عبارت دیگر:
ارتفاع بهینه برای قرارگیری شعله شمع از «کف» میز، تقریباً برابر با شعاع یا نصف قطر سکه است.
این نتیجه از تعادلی حاصل می‌شود که در یک طرف، نزدیکی بیش از حد باعث ورود زاویه‌های شیبدار (و ضعیف‌تر) به سطح سکه می‌گردد و از طرف دیگر، فاصله زیاد نیز نور کل را به دلیل قانون معکوس مربع کاهش می‌دهد.