سوال ریاضی و هوش جیمت

توی سوالات اینچنین کنکوری، هرچقدر جاگذاری بیشتر انجام بدیم، راحت تر و سریعتر حل میشه

میگه حاصل ضرب عددی فرد هست (مثبت بودنش که واضحه. چون n عدد طبیعیه و منفی نمیتونه باشه.)

از کوچکترین عدد ها شروع می کنیم. با جاگذاری عدد یک و بعدش دو، متوجه میشیم که n باید زوج باشه.

حالا در عبارت (n+2)*(n+4)  اعداد زوج رو جاگذاری می کنیم. دو چهار شش هشت و...

۴ در ۶

۶ در ۸

۸ در ۱۰

۱۰ در ۱۲

و...

در هر کدام از این اعداد، یکی بر دو و یکی بر ۴ بخش پذیر است.

یعنی می بینیم بخش ثابت این عدد ها عدد ۸ می باشد.

لذا عبارت (n+2)*(n+4) قطعا بر ۸ بخش پذیر است.

برای آنکه n + 1) (n + 3))  به عنوان حاصلضرب دو عدد طبیعی، فرد باشه، باید هر کدام از پرانتزها عددی فرد باشند، در نتیجه، باید که n زوج باشه.

حالا اگر n رو برابر با 2k بگیریم که k هم عددی طبیعی باشه، میتونیم بنویسیم:

(n + 4) (n + 2) = (2k+2)(2k+4)=4(k+1)(k+2)

که به طور واضح می بینیم که عبارت (n + 4) (n + 2)، به طور قطع، مضربی  از 4 هست. ولی آیا میشه قطعیت بیشتری درباره مضرب قطعی این عبارت، گفت؟

پاسخ، مثبت هست.  k میتونه دو حالت داشته باشه:

k فرد باشه؛ در این صورت، (k+1) زوج خواهد بود و مضربی از  دو هست.

k زوج باشه؛ در این صورت،  (k+2)، زوج خواهد بود و مضربی از 2 هست.

پس نتیجه میگیریم که خود عبارت (k+1)(k+2)، مضربی از 2 خواهد بود. پس  عبارت 4(k+1)(k+2)، همیشه مضربی از 8 خواد بود. و نتیجتا

اثبات کردیم که اگر n + 1) (n + 3))، عددی مثبت و فرد باشد، عبارت (n + 4) (n + 2)، همیشه مضربی از 8 خواهد بود.