سوال ریاضی و هوش جیمت

(n+4)(n+2)= n²+6n+8

(n+3)(n+1)= n²+4n+3فرد و مثبت است 

n² همیشه مثبته پس 4n+3 فرده ولی نمیدونیم   nفرده یا زوج در نتیجه یه بار n رو زوج در نظر می‌گیریم و یه بار فرد

درصورتی که n زوج باشه n=2k

4k²+8k+3

در صورتی که n فرد باشه n=2k+1 

 4k²+4k+1+8k+3+4= 4k²+12k+8 پس n فردنیست چون جواب زوج در میاد

  حالا 2k رو در عبارت بعدی جایگذاری میکنیم

(2k+2)(2k+4)

=4k²+12k+8= 4(k²+3k+2)

4(k+1)(k+2)

ازونجایی که k+1 و k+2 متوالی هستند پس یکی ازینا هتما مضرب ۲ هست 

پس۴×۲=۸ قطعا مضرب  ۸هست

(n + 1)(n + 3) = (2x + 1)

r = ( n + 1 ) , s = ( n + 3 )

=> (r) (s) = 2x + 1

r = 2y + 1

s = 2u + 1

=> (n + 1) = (2y +1) => n = 2y

=> (n + 2)(n + 4) = n² + 6n + 8 = (2y)² + 6(2y) + 8 = 4y² + 12y + 8 = 4( y² + 3y + 2 ) = 4 (( y + 1) ( y + 2 ))

1-> y = (2z +1) => 4(( y + 1 ) ( y + 2 )) = 4 (( (2z + 1) + 1 ) ( (2z + 1)+ 2 )) = 4 (( 2z + 2 ) ( 2z + 3 )) = 4 ( 4z² + 10z + 6 ) = 8 ( 2z² + 5z + 3 ) = 8m

2-> y = 2z => 4(( y + 1 ) ( y + 2 )) = 4 (( (2z) + 1) ( (2z) + 2 )) = 4 (( 2z+1 ) ( 2z+2 )) = 4 ( 4z² + 6z + 2 ) = 8 ( 2z² + 3z + 1 ) = 8n

1 , 2 => (n + 2)(n + 4) = 8p

برای آنکه n + 1) (n + 3))  به عنوان حاصلضرب دو عدد طبیعی، فرد باشه، باید هر کدام از پرانتزها عددی فرد باشند، در نتیجه، باید که n زوج باشه.

حالا اگر n رو برابر با 2k بگیریم که k هم عددی طبیعی باشه، میتونیم بنویسیم:

(n + 4) (n + 2) = (2k+2)(2k+4)=4(k+1)(k+2)

که به طور واضح می بینیم که عبارت (n + 4) (n + 2)، به طور قطع، مضربی  از 4 هست. ولی آیا میشه قطعیت بیشتری درباره مضرب قطعی این عبارت، گفت؟

پاسخ، مثبت هست.  k میتونه دو حالت داشته باشه:

k فرد باشه؛ در این صورت، (k+1) زوج خواهد بود و مضربی از  دو هست.

k زوج باشه؛ در این صورت،  (k+2)، زوج خواهد بود و مضربی از 2 هست.

پس نتیجه میگیریم که خود عبارت (k+1)(k+2)، مضربی از 2 خواهد بود. پس  عبارت 4(k+1)(k+2)، همیشه مضربی از 8 خواد بود. و نتیجتا

اثبات کردیم که اگر n + 1) (n + 3))، عددی مثبت و فرد باشد، عبارت (n + 4) (n + 2)، همیشه مضربی از 8 خواهد بود.