مسئله درس مدیریت سرمایه گذاری

برای محاسبه ارزش اختیار خرید، سود صاحب سهام و سود و زیان صادرکننده، از فرمول‌های زیر استفاده می‌کنیم:

▎1. محاسبه ارزش اختیار خرید:

ارزش اختیار خرید (Call Option) به صورت زیر محاسبه می‌شود:

ارزش اختیار خرید = max(0, P - K)

که در آن:

•  P  = قیمت سهم در سر رسید

•  K  = قیمت توافقی (Strike Price)

▎2. محاسبه سود صاحب سهام:

سود صاحب سهام برابر است با:

سود صاحب سهام = ارزش اختیار خرید - قیمت اولیه اختیار خرید

▎3. محاسبه سود و زیان صادر کننده:

سود و زیان صادر کننده برابر است با:

سود و زیان صادر کننده = قیمت اولیه اختیار خرید - ارزش اختیار خرید

▎محاسبات برای هر قیمت سهم:

▎1. برای P = 200 :

• ارزش اختیار خرید:  max(0, 200 - 440) = 0 

• سود صاحب سهام:  0 - 15 = -15 

• سود و زیان صادر کننده:  15 - 0 = 15 

▎2. برای P = 280 :

• ارزش اختیار خرید:  max(0, 280 - 440) = 0 

• سود صاحب سهام:  0 - 15 = -15 

• سود و زیان صادر کننده:  15 - 0 = 15 

▎3. برای P = 440 :

• ارزش اختیار خرید:  max(0, 440 - 440) = 0 

• سود صاحب سهام:  0 - 15 = -15 

• سود و زیان صادر کننده:  15 - 0 = 15 

▎4. برای P = 595 :

• ارزش اختیار خرید:  max(0, 595 - 440) = 155 

• سود صاحب سهام:  155 - 15 = 140 

• سود و زیان صادر کننده:  15 - 155 = -140 

▎5. برای P = 700 :

• ارزش اختیار خرید:  max(0, 700 - 440) = 260 

• سود صاحب سهام:  260 - 15 = 245 

• سود و زیان صادر کننده:  15 - 260 = -245 

▎نقطه سر به سر:

نقطه سر به سر (Break-even Point) زمانی است که سود صاحب سهام برابر با صفر باشد:

سود صاحب سهام = 0

ارزش اختیار خرید - قیمت اولیه = 0

max(0, P - K) = قیمت اولیه

با توجه به اینکه قیمت اولیه اختیار خرید برابر با 15 و قیمت توافقی برابر با 440 است، برای رسیدن به نقطه سر به سر:

P - K = 15

P - 440 = 15

P = 455

بنابراین، سرمایه‌گذار باید انتظار داشته باشد که قیمت سهم به 455 برسد تا به نقطه سر به سر برسد.

سلام دوست عزیز  فرض کن می‌خوای یه اسباب بازی بخری که الان قیمتش 440 تومنه. ولی یه آقا یا خانم مهربون بهت قول میده که هر وقت خواستی تا یه مدت معین، مثلاً تا آخر تابستون، می‌تونی این اسباب بازی رو فقط با 440 تومن ازش بخری. البته برای این قول باید 15 تومن بهش بدی. حالا سوال اینه:

1. اگر قیمت اسباب بازی این مقدارها بشه، چقدر سود می‌کنی یا ضرر میدی؟
200 تومن، 280 تومن، 440 تومن، 595 تومن، 700 تومن

2. اون آقا یا خانم مهربون چقدر سود یا ضرر می‌کنه؟

3. از چه قیمتی به بعد، سود می‌کنی؟

خب بریم سراغ جواب‌ها:

1. اگر قیمت بشه:
- 200 تومن: چون قیمت کمتر از 440 تومنه، پس اسباب بازی رو نمی‌خری. 15 تومنی هم که اول دادی رو از دست میدی. پس 15 تومن ضرر می‌کنی.
- 280 تومن: بازم نمی‌خری چون قیمت کمتره. پس 15 تومن ضرر.
- 440 تومن: خب دقیقاً همون قیمتیه که قرار بود بخری. پس نه سود میکنی نه ضرر. فقط اون 15 تومن اول از دست رفته.
- 595 تومن: ایول! حالا قیمت خیلی بالاتر رفته. پس اسباب بازی رو به قیمت قولنامه که 440 تومنه می‌خری و 595 تومن می‌فروشی. سودت میشه 595 - 440 - 15 = 140 تومن! چون اون 15 تومن اول رو هم کم کردیم.
- 700 تومن: بازم می‌خری به 440 تومن و می‌فروشی 700 تومن. سودت میشه 700 - 440 - 15 = 245 تومن!

2. حالا ببینیم اون آقا یا خانم چقدر سود یا ضرر کرده. همه جا اون 15 تومن اول رو بهش دادی. ولی وقتی قیمت از 440 تومن بالاتر رفت، مجبور شد به تو اسباب بازی رو 440 تومن بفروشه در حالی که قیمتش بیشتر بود. پس اون موقع ضرر کرده. مثلاً وقتی قیمت 700 تومن بود، 700 - 440 = 260 تومن ضرر کرده، ولی 15 تومن اول رو داشته. پس در کل 260 - 15 = 245 تومن ضرر کرده.

3. خب حالا سوال آخر. تو فقط وقتی سود می‌کنی که قیمت اسباب بازی از 440 + 15 = 455 تومن بیشتر بشه. چون اگه 455 تومن بشه، تو 440 تومن میدی بخریش، 455 تومن می‌فروشی. پس 15 تومن سود داری که جبران اون 15 تومن اول میشه و سر به سر میشی.

همیشه سعی کن «قیمت سر به سر» رو پیدا کنی.

قیمت سر به سر یعنی اون قیمتی که اگه سهم بهش برسه، نه سود کردی نه ضرر. تو این مسئله، قیمت سر به سر میشد 455 تومن. چون اگه قیمت بیشتر از این بشه سود می‌کنی و اگه کمتر بشه ضرر می‌کنی.

برای پیدا کردنش هم کافیه قیمت توافقی (تو مثال ما 440 تومن) رو با قیمت اولیه اختیار خرید (همون 15 تومن) جمع کنی.

یعنی: قیمت سر به سر = قیمت توافقی + قیمت اولیه اختیار خرید

پس وقتی یه همچین سوالی برات پیش اومد، اول قیمت سر به سر رو حساب کن. بعد هر قیمتی که تو سوال بهت داده رو با این قیمت سر به سر مقایسه کن. اگه بیشتر بود یعنی سود، اگه کمتر بود یعنی ضرر، و اگه برابر بود یعنی نه سود نه ضرر.

بیایید به ترتیب هر یک از موارد را حل کنیم:

۱. ارزش اختیار خرید: ارزش  اختیار  خرید=قیمت  توافقی−قیمت  اولیه  اختیار  خریدارزش اختیارخرید=قیمت توافقی−قیمت اولیه اختیارخرید ارزش  اختیار  خرید=440−15=425 ارزش اختیارخرید=440−15=425

۲. سود صاحب سهام: برای محاسبه سود صاحب سهام، ما باید قیمت سهم در سررسید را از قیمت توافقی کم کنیم: سود  صاحب  سهام=قیمت  سهم  در  سررسید−قیمت  توافقی سودصاحب سهام=قیمت سهم در سررسید−قیمت توافقی اگر قیمت سهم در سررسید به یکی از مقادیر زیر برسد، سود صاحب سهام برابر مقدار مربوطه است:

• برای 200: 200−440=−240200−440=−240
• برای 280: 280−440=−160280−440=−160
• برای 440: 440−440=0440−440=0
• برای 595: 595−440=155595−440=155
• برای 700: 700−440=260700−440=260

۳. سود یا زیان صادر کننده: سود  یا  زیان  صادر  کننده=قیمت  توافقی−قیمت  سهم سودیا زیان صادرکننده=قیمت توافقی−قیمت سهم اگر قیمت سهم در سررسید به یکی از مقادیر زیر برسد، سود یا زیان صادرکننده برابر مقدار مربوطه است:

• برای 200: 440−200=240440−200=240
• برای 280: 440−280=160440−280=160
• برای 440: 440−440=0440−440=0
• برای 595: 440−595=−155440−595=−155
• برای 700: 440−700=−260440−700=−260

۴. نقطه‌ی سر به سر (Break-even point): برای پیدا کردن نقطه‌ی سر به سر، ما باید قیمت سهم را پیدا کنیم که ارزش اختیار خرید را به تعدادی که در سوال ذکر شده برساند. بنابراین، نقطه‌ی سر به سر به این صورت محاسبه می‌شود:

• برای 200: 15+200=21515+200=215
• برای 280: 15+280=29515+280=295
• برای 440: 15+440=45515+440=455
• برای 595: 15+595=61015+595=610
• برای 700: 15+700=71515+700=715

بنابراین، اگر قیمت سهم در سررسید به یکی از مقادیر زیر برسد، سرمایه‌گذار به نقطه‌ی سر به سر می‌رسد:

• برای 200: سود صاحب سهام -240 و سود یا زیان صادر کننده 240، بنابراین نقطه سر به سر نیست
• برای 280: سود صاحب سهام -160 و سود یا زیان صادر کننده 160، بنابراین نقطه سر به سر نیست
• برای 440: سود صاحب سهام 0 و سود یا زیان صادر کننده 0، بنابراین نقطه سر به سر است
• برای 595: سود صاحب سهام 155 و سود یا زیان صادر کننده -155، بنابراین نقطه سر به سر نیست
• برای 700: سود صاحب سهام 260 و سود یا زیان صادر کننده -260، بنابراین نقطه سر به سر نیست

قیمت اولیه‌ی اختیار خرید (Strike Price) برابر با 440 است و اگر قیمت سهم در سررسید یکی از اعداد 200، 280، 440، 595، 700 باشد، ارزش اختیار خرید و سود صاحب سهام و سود/زیان صادرکننده به صورت زیر قابل محاسبه است:

1. ارزش اختیار خرید:
   • اگر قیمت سهم در سررسید 200 باشد، ارزش اختیار خرید برابر با تفاوت قیمت سهم و قیمت اولیه‌ی اختیار خرید است: 200−440=−240200−440=−240 (منفی به این معنی که اختیار خرید ارزشی ندارد).
   • اگر قیمت سهم در سررسید 280 باشد، ارزش اختیار خرید برابر با 280−440=−160280−440=−160 است.
   • اگر قیمت سهم در سررسید 440 باشد، ارزش اختیار خرید برابر با 440−440=0440−440=0 است.
   • اگر قیمت سهم در سررسید 595 باشد، ارزش اختیار خرید برابر با 595−440=155595−440=155 است.
   • اگر قیمت سهم در سررسید 700 باشد، ارزش اختیار خرید برابر با 700−440=260700−440=260 است.
2. سود صاحب سهام:
   • اگر قیمت سهم در سررسید 200 باشد، سود صاحب سهام برابر با 200−15=185200−15=185 است.
   • اگر قیمت سهم در سررسید 280 باشد، سود صاحب سهام برابر با 280−15=265280−15=265 است.
   • اگر قیمت سهم در سررسید 440 باشد، سود صاحب سهام برابر با 440−15=425440−15=425 است.
   • اگر قیمت سهم در سررسید 595 باشد، سود صاحب سهام برابر با 595−15=580595−15=580 است.
   • اگر قیمت سهم در سررسید 700 باشد، سود صاحب سهام برابر با 700−15=685700−15=685 است.
3. سود/زیان صادرکننده:
   • اگر قیمت سهم در سررسید 200 باشد، زیان صادرکننده برابر با 440−200=240440−200=240 است.
   • اگر قیمت سهم در سررسید 280 باشد، زیان صادرکننده برابر با 440−280=160440−280=160 است.
   • اگر قیمت سهم در سررسید 440 باشد، زیان یا سود صادرکننده برابر با 00 است (در این حالت هیچ سود یا زیانی وجود ندارد).
   • اگر قیمت سهم در سررسید 595 باشد، سود صادرکننده برابر با 595−440=155595−440=155 است.
   • اگر قیمت سهم در سررسید 700 باشد، سود صادرکننده برابر با 700−440=260700−440=260 است.

با توجه به مسئله، اگر قیمت سهم در سررسید 595 باشد، سرمایه‌گذار به نقطه‌ی سر به سر می‌رسد.

برای حل این مسئله، ابتدا باید ارزش اختیار خرید را محاسبه کنیم. سپس با توجه به آن، سود صاحب سهام و سود و زیان صادرکننده را محاسبه می‌کنیم.

ارزش اختیار خرید:
قیمت اولیه اختیار خرید = 15
قیمت توافقی = 440

اگر قیمت سهم در سررسید به یکی از این اعداد برسد:
200: ارزش اختیار خرید = 0 (چون قیمت سهم کمتر از قیمت توافقی است)
280: ارزش اختیار خرید = 0 (چون قیمت سهم کمتر از قیمت توافقی است)
440: ارزش اختیار خرید = 440 - 440 = 0 (چون قیمت سهم برابر قیمت توافقی است)
595: ارزش اختیار خرید = 595 - 440 = 155
700: ارزش اختیار خرید = 700 - 440 = 260

سود صاحب سهام:
اگر قیمت سهم در سررسید به 200 برسد: سود = 200 - 15 = 185
اگر قیمت سهم در سررسید به 280 برسد: سود = 280 - 15 = 265 
اگر قیمت سهم در سررسید به 440 برسد: سود = 440 - 15 = 425
اگر قیمت سهم در سررسید به 595 برسد: سود = 595 - 15 = 580
اگر قیمت سهم در سررسید به 700 برسد: سود = 700 - 15 = 685

سود و زیان صادرکننده:
اگر قیمت سهم در سررسید به 200 برسد: زیان = 440 - 200 = 240
اگر قیمت سهم در سررسید به 280 برسد: زیان = 440 - 280 = 160
اگر قیمت سهم در سررسید به 440 برسد: سود = 440 - 440 = 0
اگر قیمت سهم در سررسید به 595 برسد: سود = 595 - 440 = 155
اگر قیمت سهم در سررسید به 700 برسد: سود = 700 - 440 = 260

با توجه به مسئله، سرمایه‌گذار به نقطه سر به سر می‌رسد زمانی که قیمت سهم در سررسید به 440 برسد، چون در این حالت ارزش اختیار خرید صفر می‌شود و سود و زیان صادرکننده نیز صفر است.

محاسبه ارزش اختیار خرید، سود صاحب سهام، سود و زیان صادر کننده و نقطه سر به سر

• قیمت اولیه اختیار خرید: 15
• قیمت توافقی (Strike Price): 440
• قیمت سهم در سررسید: 200، 280، 440، 595، 700

• در حالت پول خارج از محدوده (Out of the Money):
  • اگر قیمت سهم در سررسید کمتر از قیمت توافقی باشد، اختیار خرید هیچ ارزشی ندارد.
  • در این حالت، ارزش اختیار خرید برای قیمت‌های سهم 200، 280 و 440 برابر با 0 خواهد بود.
• در حالت پول در محدوده (In the Money):

• اگر قیمت سهم در سررسید بیشتر یا مساوی قیمت توافقی باشد، ارزش اختیار خرید با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

  ارزش اختیار خرید = حداکثر (قیمت سهم - قیمت توافقی، 0)

• نقطه سر به سری قیمتی از سهم در سررسید است که در آن سود و زیان صاحب سهام و صادر کننده اختیار خرید برابر با صفر می‌شود.

• برای محاسبه نقطه سر به سر، می‌توان از معادله زیر استفاده کرد:

  قیمت سهم در سررسید = قیمت اولیه اختیار خرید + ارزش اختیار خرید

• اگر قیمت سهم در سررسید کمتر از 455 تومان باشد، صادر کننده اختیار خرید سود می‌برد و صاحب سهام ضرر می‌کند.
• اگر قیمت سهم در سررسید بین 455 و 440 تومان باشد، هیچکدام از طرفین سود یا زیانی نمی‌کنند.
• اگر قیمت سهم در سررسید بیشتر از 455 تومان باشد، صاحب سهام سود می‌برد و صادر کننده اختیار خرید ضرر می‌کند.

برای حل این مسئله، ابتدا باید مفاهیم اختیار خرید (Call Option) را مرور کنیم. اختیار خرید به دارنده‌ی آن حق خرید یک دارایی به قیمت توافقی (Strike Price) در یا قبل از تاریخ انقضا را می‌دهد. در این مسئله، قیمت اولیه یا قیمت پریمیوم اختیار خرید 15 و قیمت توافقی 440 است.

### ارزش اختیار خرید در سررسید:

1. **قیمت سهم = 200**: اختیار خرید بی‌ارزش است زیرا قیمت سهم کمتر از قیمت توافقی است. پس ارزش اختیار خرید 0 است.

2. **قیمت سهم = 280**: باز هم اختیار خرید بی‌ارزش است زیرا قیمت سهم کمتر از قیمت توافقی است. پس ارزش اختیار خرید 0 است.

3. **قیمت سهم = 440**: اختیار خرید در نقطه سر به سر است، اما باز هم بی‌ارزش است زیرا قیمت سهم با قیمت توافقی برابر است و هزینه‌ای برای اعمال اختیار خرید وجود دارد. پس ارزش اختیار خرید 0 است.

4. **قیمت سهم = 595**: اختیار خرید ارزشمند است. ارزش اختیار خرید = قیمت سهم - قیمت توافقی = 595 - 440 = 155.

5. **قیمت سهم = 700**: اختیار خرید ارزشمندتر است. ارزش اختیار خرید = قیمت سهم - قیمت توافقی = 700 - 440 = 260.

### سود صاحب سهام:

صاحب سهام در صورت افزایش قیمت سهم سود می‌کند، اما از آنجایی که اطلاعاتی درباره قیمت خرید سهم نداریم، نمی‌توان سود دقیق او را محاسبه کرد.

### سود و زیان صادرکننده اختیار خرید:

- **زیان در قیمت سهم = 595**: زیان صادرکننده = ارزش اختیار خرید - قیمت اولیه = 155 - 15 = 140.

- **زیان در قیمت سهم = 700**: زیان صادرکننده = ارزش اختیار خرید - قیمت اولیه = 260 - 15 = 245.

### نقطه سر به سر برای سرمایه‌گذار:

سرمایه‌گذار برای رسیدن به نقطه سر به سر باید هزینه پریمیوم اختیار خرید (15) را جبران کند. پس:

\[قیمت توافقی + قیمت پریمیوم = 440 + 15 = 455\]

این بدین معنی است که اگر قیمت سهم به 455 برسد، سرمایه‌گذار هزینه‌های خود را جبران کرده و به نقطه سر به سر می‌رسد.