در هندسه، دستگاه مختصات گرانیگاهی، دستگاهی است که در آن یک نقطه، گرانیگاه مجموعه ای از جرم ها است؛ جرم هایی که در گوشه های یک سادک ( مانند مثلث، هرم و. . . ) قرار می گیرند. مختصات گرانیگاهی گونه ای از مختصات همگن است. این دستگاه اولین بار در سال ۱۸۲۷ توسط آگوست فردینانند موبیوس معرفی شد.
فرض کنید x 1 … x n گوشه های یک چندوجهی در فضای برداری A باشد؛ اگر برای برخی نقاط p در فضای A داشته باشیم:
و حداقل یکی از a 1 … a n ناصفر باشد، آنگاه می توانیم بگوییم که ضرایب ( a 1 … a n ) مختصات گرانیگاهی p نسبت به x 1 … x n هستند. مختصات خود گوشه ها عبارت است از x 1 = ( 1 , 0 , 0 , . . . , 0 ) , x 2 = ( 0 , 1 , 0 , . . . , 0 ) , … , x n = ( 0 , 0 , 0 , . . . , 1 ) . مختصات گرانیگاهی یکتا نیستند. برای هر b ناصفر، ( b a 1 … b a n ) نیز مختصات گرانیگاهی p است.
وقتی مکان نقاط در دستگاه مختصات منفی نیست، نقطه ای مانند p در یک پوش محدب از x 1 … x n قرار می گیرد؛ این همان چند وجهی ( در فضای چندبعدی دلخواه ) است که آن نقاط را به عنوان گوشه های خود ( رأس هایش ) در بر می گیرد.
در مورد یک مثلث، مختصات گرانیگاهی را با نام مختصات مساحتی نیز می شناسند. چرا که مختصات نقطهٔ P نسبت به مثلث ABC، از نسبت ( علامت دار ) مساحت های PBC و PCA و PAB نسبت به مثلث اصلی ABC تعیین می شود. مختصات مساحتی و مختصات سه خطی برای هدف های مشابه در هندسه کاربرد دارند.
مختصات گرانیگاهی یا مساحتی در کاربردهای مهندسی مانند زیردامنه های مثلثی، بسیار مورد استفاده قرار می گیرند. همچنین استفاده از این مختصات برآورد انتگرال را بسیار ساده تر می کند؛ در جدول انتگرال گاوسی نیز معمولاً از این مختصات استفاده می شود.
ابتدا مثلث T را با سه گوشهٔ r 1 و r 2 و r 3 در نظر می گیریم هر نقطه ای مانند r که روی مثلث قرار دارد را می توان به صورت مجموع وزنی سه گوشهٔ مثلث نوشت:
که λ 1 و λ 2 و λ 3 مختصات مساحتی اند ( معمولاً با α , β , γ نمایش داده می شوند. ) البته با این فرض که:
پس
با توجه به گفته های بالا می توان نتیجه گرفت که انتگرال تابعی مانند f ( r ) روی T برابر خواهد بود با:
توجه داشته باشید که در عبارت بالا، درون یابی خطی وجود دارد. در واقع مختصات مساحتی این اجازه را می دهد که از درون یابی خطی در تمام نقاط مثلث استفاده کنیم به شرطی که مقدار تابع در تمام گوشه های مثلث معلوم باشد.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلففرض کنید x 1 … x n گوشه های یک چندوجهی در فضای برداری A باشد؛ اگر برای برخی نقاط p در فضای A داشته باشیم:
و حداقل یکی از a 1 … a n ناصفر باشد، آنگاه می توانیم بگوییم که ضرایب ( a 1 … a n ) مختصات گرانیگاهی p نسبت به x 1 … x n هستند. مختصات خود گوشه ها عبارت است از x 1 = ( 1 , 0 , 0 , . . . , 0 ) , x 2 = ( 0 , 1 , 0 , . . . , 0 ) , … , x n = ( 0 , 0 , 0 , . . . , 1 ) . مختصات گرانیگاهی یکتا نیستند. برای هر b ناصفر، ( b a 1 … b a n ) نیز مختصات گرانیگاهی p است.
وقتی مکان نقاط در دستگاه مختصات منفی نیست، نقطه ای مانند p در یک پوش محدب از x 1 … x n قرار می گیرد؛ این همان چند وجهی ( در فضای چندبعدی دلخواه ) است که آن نقاط را به عنوان گوشه های خود ( رأس هایش ) در بر می گیرد.
در مورد یک مثلث، مختصات گرانیگاهی را با نام مختصات مساحتی نیز می شناسند. چرا که مختصات نقطهٔ P نسبت به مثلث ABC، از نسبت ( علامت دار ) مساحت های PBC و PCA و PAB نسبت به مثلث اصلی ABC تعیین می شود. مختصات مساحتی و مختصات سه خطی برای هدف های مشابه در هندسه کاربرد دارند.
مختصات گرانیگاهی یا مساحتی در کاربردهای مهندسی مانند زیردامنه های مثلثی، بسیار مورد استفاده قرار می گیرند. همچنین استفاده از این مختصات برآورد انتگرال را بسیار ساده تر می کند؛ در جدول انتگرال گاوسی نیز معمولاً از این مختصات استفاده می شود.
ابتدا مثلث T را با سه گوشهٔ r 1 و r 2 و r 3 در نظر می گیریم هر نقطه ای مانند r که روی مثلث قرار دارد را می توان به صورت مجموع وزنی سه گوشهٔ مثلث نوشت:
که λ 1 و λ 2 و λ 3 مختصات مساحتی اند ( معمولاً با α , β , γ نمایش داده می شوند. ) البته با این فرض که:
پس
با توجه به گفته های بالا می توان نتیجه گرفت که انتگرال تابعی مانند f ( r ) روی T برابر خواهد بود با:
توجه داشته باشید که در عبارت بالا، درون یابی خطی وجود دارد. در واقع مختصات مساحتی این اجازه را می دهد که از درون یابی خطی در تمام نقاط مثلث استفاده کنیم به شرطی که مقدار تابع در تمام گوشه های مثلث معلوم باشد.
wiki: دستگاه مختصات گرانیگاهی