ریخت

ریخت (ریاضیات). ریخت یا ریختار[ ۱] ( به انگلیسی: morphism ) در ریاضیات و بخصوص در نظریه رسته ها ( که آنجا پیکان نام دارد ) ، یک «نگاشت حافظِ ساختار» از یک «ساختار ریاضی» به «ساختار دیگر هم نوع» است. مفهوم ریخت، در ریاضیات معاصر زیاد دیده شده است. در نظریه مجموعه ها، ریختار همان تابع است؛ در جبر خطی، همان نگاشت خطی است؛ در نظریه گروه ها همان هم ریختی های گروهی است، و در توپولوژی، ریختار همان تابع پیوسته است و غیره.
در نظریه رسته ها، ریختار مفهومی گسترده تر و مشابه است: نیازی نیست که اشیای ریاضی درگیر حتماً مجموعه باشد، و رابطه بین آن ها می تواند متفاوت با نگاشت باشد، اگرچه ریختار بین اشیاء موجود در یک رسته معین باید مشابه نگاشت رفتار کند، یعنی باید یک عمل انجمنی را بپذیرد مثل ترکیب توابع. یک ساختار در نظریه رسته نوعی انتزاع برای همریختی است. [ ۲]
مطالعه ریختارها و ساختارهایی ( که شیء نام دارد ) است که روی آن تعریف شده اند، یک فعالیت اساسی در نظریه رسته ها است. بیشتر اصطلاح های ریختارها، مثل بینش مبنایی آن ها، از رسته های ملموس گرفته شده اند، که در آن «اشیاء» همان «مجموعه هایی با یک ساختار اضافی» هستند، و «ریختارها»، همان «توابع حافظ - ساختار» هستند. در نظریه رسته ها، گاهی به ریختارها، پیکان ( به انگلیسی: arrows ) هم گفته می شود.
مطالعه پیکان ها و اشیاء که به روی آنها تعریف شده اند، ایده ای اساسی در نظریه رسته هاست. بسیاری از اصطلاحات مربوط به ریخت ها و همچنین شهود پشتشان، از رسته های ملموس می آیند، که در آنها اشیاء به سادگی مجموعه هایی با ساختار اضافی و ریخت ها، توابع حافظ ساختارند.
رسته C شامل دو کلاس است: یکی از اشیاء و دیگر از ریخت ها. به هر ریختار دو شیء منتسب می شود، مبدأ و مقصد ( هدف ) . یک ریختار f با مبدأ X و مقصد Y به صورت f: X → Y نوشته می شود، و به صورت نموداری توسط یک پیکان از X به Y نمایش داده می شود.
برای بسیاری از رسته های معمول، اشیاء مجموعه هستند ( که اغلب یک ساختار اضافی هم دارند ) و ریختارها توابعی از یک شیء به شیء دیگر هستند. ازاین رو، مبدأ و مقصد یک ریختار به ترتیب دامنه و هم دامنه نامیده می شوند.
ریختارها به یک عمل دودویی جزئی مجهزاند، که ترکیب نامیده می شوند. ترکیب دو ریختار f و g وقتی تعریف دقیق دارد که که مقصد f برابر مبدأ g باشد، و به صورت g ∘ f ( یا گاهی به صورت ساده تر gf ) نمایش داده می شوند. مبدأ g ∘ f برابر مبدأ f، و مقصد g ∘ f برابر مقصد g است. ترکیب دو اصل موضوع را برآورده می سازد: